¿Límites y doble integral?

Question

Determina la integral doble $\int \int_{R} ye^y dxdy$, dónde $R$ es $1\leq x-y \leq 2,\ 1 \leq xy \leq 2$

Estoy teniendo problemas para comprender cómo debería pensar para alcanzar los límites.

$x\ne y$ porque $1\leq xy \leq 2$.

$x$ debe ser al menos 1 mayor que $y$ porque $\ 1 \leq x-y \leq 2$.

Esto me da $\begin{matrix} x &y \\ 2 & 1 \\ \end{matrix}$

Por tanto, ¿puedo decir que los límites son $0 \leq y \leq 1, 0\leq x\leq 2y$ ?

Answer 1

Tienes que integrarte en dos regiones. Los puntos de intersección son

$(\frac{\sqrt5 + 1} {2}, \frac{\sqrt5 - 1} {2}), (2, 1), (\sqrt3 + 1, \sqrt3 - 1), (\sqrt 2 +1, \sqrt2 - 1)$

$(\frac{-\sqrt5 + 1} {2}, \frac{-\sqrt5 - 1} {2}), (-1, -2), (-\sqrt3 + 1, -\sqrt3 - 1), (-\sqrt 2 +1, -\sqrt2 - 1)$

Answer 2

Tenemos eso $R$ corresponde a la franja entre líneas

• $y=x-2$
• $y=x-1$

y las hipérbolas

• $y=2/x$
• $y=1/x$

Una forma de proceder es encontrar los puntos de intersección para estas regiones y luego integrarlos en consecuencia para cada parte.