Longitud proyectada esperada de vectores radiales de n-esferas
Situación
En $n$-el espacio euclidiano dimensional descansa una unidad $(n-1)$-esfera dimensional que se proyecta ortográficamente sobre una $(n-1)$-plano dimensional. Se utiliza la definición topológica de una esfera, es decir, solo los puntos de la superficie pertenecen a una esfera.
Pregunta
¿Cuál es la longitud proyectada esperada? $\bar{x}_n$ de vectores unitarios radiales uniformemente distribuidos que comienzan en el centro de la esfera?
Estrategia de solución
Se podría calcular esto mediante la integración múltiple usando $n$-Coordenadas esféricas dimensionales pero espero que haya un método más elegante. Parece que hay un patrón que podría generalizarse a$n$ dimensiones.
Soluciones para $n=2$ y $n=3$
2 espacios (ver dibujo)
En 2 espacios (plano), una unidad de 1 esfera (círculo) se proyecta sobre un 1 plano (línea). La longitud media proyectada de la integración sobre un cuadrante es$$\bar{x}_2=\frac{2}{\pi} =\frac{4}{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \sin(\alpha) \mathrm{d}\alpha$$
3 espacios
Si vamos 1 dimensión más arriba, llegamos a las 2 esferas habituales en 3 espacios. El vector radial se proyecta en 2 planos. Por integración sobre un octando obtenemos la longitud media proyectada$$\bar{x}_3=\frac{\pi}{4} =\frac{8}{4\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \sin^2(\theta) \mathrm{d\theta} \mathrm{d}\phi$$
Respuestas
Descargo de responsabilidad: utilicé Mathematica para parte del problema.
Como valor esperado, este sería $$\mathbb{E}\left[ \sqrt{x_1^2+x_2^2 + ... + x_{n-1}^2} \right]$$
dónde $\left(x_1, x_2, ..., x_n\right)$es un punto aleatorio en la superficie de la esfera. Dado que se sabe que$x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = 1$, esto es equivalente a $$\mathbb{E}\left[ \sqrt{1 - x_n^2} \right] = \mathbb{E}\left[ \sqrt{1 - x_1^2} \right]$$
A partir de aquí ,$x_1$ puede ser elegido como $\frac{y_1}{\sqrt{\sum_{k=1}^n y_k^2}}$, dónde $y_k$ son elegidos de $\mathcal{N}(0, 1)$. El valor esperado es entonces$$\mathbb{E}\left[ \sqrt{1 - \frac{y_1^2}{\sum_{k=1}^n y_k^2}} \right]$$
Como integral, esto sería $$\int_0^{1} \left(1 - \mathbb{P}\left( \sqrt{1 - \frac{y_1^2}{\sum_{k=1}^n y_k^2}}<x \right)\right) dx$$
Esa probabilidad interna es igual a $$\mathbb{P}\left( \frac{1-x^2}{x^2}\sum_{k=2}^n y_k^2 < y_1^2 \right)$$
Usando el PDF de la distribución de chi-cuadrado, esto sería $$\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}\frac{1}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}\int_{\frac{1-x^2}{x^2}z}^{\infty} z^{(n-1)/2-1}e^{-z/2}y^{1/2-1}e^{-y/2} dydz$$
Entonces la respuesta es (después de algunos cambios de límites) $$1-\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\int_{\sqrt{\frac{z}{y+z}}}^{1}\left(z^{\frac{n-3}{2}}e^{-\frac{z}{2}}y^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y}{2}}\right)dxdydz$$
Esto simplifica a $$\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\left(z^{\frac{n-2}{2}}e^{-\frac{y+z}{2}}y^{-\frac{1}{2}}\right)\sqrt{\frac{1}{y+z}}dydz$$
Mathematica luego da esto como $$\frac{\pi^{\frac{3}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}\frac{\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\Gamma\left(1-\frac{n+1}{2}\right)}{\left(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\Gamma\left(1-\frac{n}{2}\right)\right)^{2}}$$ para no entero $n$. Tomando el límite como$n$ se aproxima a un número entero y usando la fórmula de reflexión de Euler, esto simplifica a $$\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)^2}{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} \approx 1 - \frac{1}{2}n^{-1}-\frac{3}{8}n^{-2} + O(n^{-3})$$
Editar: usando eso $\Gamma(k + \frac{1}{2}) = \frac{(2k-1)!!\sqrt{\pi}}{2^k} = \frac{(2k)!\sqrt{\pi}}{4^k}k!$ y $\Gamma(k) = (k-1)!$, dividiendo por casos pares e impares, para impares $n$, es $$\frac{\pi}{4^{n-1}}\cdot\frac{\left[\left(n-1\right)!\right]^{2}}{\left(\frac{n-3}{2}\right)!\left[\left(\frac{n-1}{2}\right)!\right]^{3}} = \frac{\pi(n-1)}{2^{2n-1}} \binom{n-1}{\frac{n-1}{2}}^2$$ mientras que por incluso $n$, es $$\frac{2^{2n-2}}{\pi}\frac{\left(\frac{n}{2}\right)!\left[\left(\frac{n}{2}-1\right)!\right]^{3}}{\left(n-2\right)!\left(n\right)!} = \frac{2^{2n+1}}{\pi}\frac{n-1}{n^{2}}\binom{n}{\frac{n}{2}}^{-2}$$