¿Los conjuntos recursivamente enumerables forman una cobertura para$\mathbb{N}$? En caso afirmativo, ¿qué condiciones adicionales de saturación satisface?

Question

Los conjuntos recursivamente enumerables son una colección de subconjuntos de$\mathbb{N}$, cuya definición es bien conocida y se puede encontrar en Wikipedia aquí . Ayer, me topé con una definición de "Espacios topológicos generalizados", aquí (definición 2.2.1) (en adelante, GTS). La definición es extensa y le pido al lector que revise el enlace, pero por el bien del texto de la pregunta; un triple$(X, Op_X, Cov_X)$, con un conjunto$X$, una colección de conjuntos abiertos$Op_X\in 2^X$, y revestimientos admisibles$Cov_X\in 2^{2^X}$(este último diferencia a GTS de la topología regular; las uniones no son arbitrarias sino restringidas a$Cov_X$) forma un GTS si el triple cumple algunas condiciones, A1 a A8.

A continuación, podemos comprobar si el triple$(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$forma tal espacio (donde$RE$es la colección de conjuntos recursivamente enumerables, y$Cov_{RE}$es la colección de colecciones$C$de$RE$elementos tales que$C$es en sí recursivamente enumerable[1]). Resulta que no: las condiciones A7 y A8 (los axiomas de saturación[2] y regularidad) fallan para este triple.

El siguiente paso aquí es considerar qué sucede si simplemente ignoramos dichas condiciones de falla o, en otras palabras, generalizar aún más el GTS. El mismo texto que presenta la definición de GTS explica que dicha definición está relacionada con las topologías de Grothendieck, pero aquí nos encontramos con un inconveniente; Mientras que la definición de GTS fue explicada con un lenguaje sencillo de teoría de conjuntos, la topología de Grothendieck es, por lo que puedo decir, un concepto profundamente arraigado en la teoría de categorías, cuyo lenguaje todavía estoy lejos de comprender. Sin embargo, uno puede navegar el ncatlab y llegar a la definición de Sitio, aquí , que es una categoría junto con una Cobertura, algo definido aquí .. Mi entendimiento es que la cobertura es la definición más general en este contexto, y que uno obtiene (pre) topologías de Grothendieck al imponer condiciones adicionales en una cobertura (no estoy seguro de dónde encaja exactamente GTS en todo esto, pero creo que los sitios son de hecho una generalización de GTS).

La pregunta real que hago aquí se divide en varias partes:

1. ¿Tengo razón sobre lo que es un sitio? Es decir, si "descategorizamos" la definición de sitio (y la cobertura también, por supuesto), ¿terminamos con algo como la definición de GTS, excepto que con menos condiciones?
2. Si es así, ¿el triple$(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$formar un sitio? es decir, es$Cov_{RE}$de hecho una cobertura para$\mathbb{N}$? Por ejemplo, ¿es "estable bajo retroceso" (¡lo que sea que eso signifique!)?
3. Si eso también es cierto, ¿qué "condiciones de saturación" adicionales (ver aquí )$Cov_{RE}$¿satisfacer? Me imagino que no lo suficiente para que sea una topología de Grothendieck adecuada, pero ¿tal vez suficiente para una pretopología?

[1] - Se lleva a cabo un ligero abuso de lenguaje cuando se dice que "$C$es recursivamente enumerable" (uno esperaría$C\in RE$solo de esta oración, pero en realidad$C\in 2^{RE}$en este caso específico); para aquellos que no se sienten cómodos con él, una forma equivalente de definir$Cov_{RE}$es como sigue. Primero, arregla$\phi : \mathbb{N} \rightarrow RE$, una enumeración computable de RE en sí. Después$Cov_{RE}$es$\{C \in 2^{RE} \mid \exists S \in RE , \forall s \in RE, s \in C \leftrightarrow \exists n\in S, s = \phi(n) \}$, es decir, una colección$C$de elementos RE pertenece a$Cov_{RE}$si existe$S\in RE$tal que uno puede mapear$\phi$sobre$S$y obtener$C$como el resultado.

[2] - Tenga en cuenta que el "axioma de saturación" aquí es específico para GTS, las definiciones relacionadas con la teoría de categorías más adelante en la pregunta tienen sus propias condiciones de saturación múltiples.

Answer 1

Supongamos que estamos tratando con un conjunto arbitrario parcialmente ordenado$(P, \leq)$. En el caso particular de los espacios topológicos,$P$es una colección de subconjuntos de$X$, el espacio subyacente. podemos considerar$P$como una categoría de manera canónica de la siguiente manera: el conjunto de objetos es$P$, hay como máximo una flecha entre cada$x, y \in P$, y hay una flecha entre$x$y$y$si y si$x \leq y$.

Un tamiz en un objeto$x$se puede definir como una colección$S \subseteq \{(f, z) | f : z \to x\}$que satisface la propiedad de que para todo$(f, z) \in S$y cada$g : w \to z$, tenemos$(f \circ g, w) \in S$.

Cuando hablamos de un conjunto parcialmente ordenado, el primer componente de$(f, z)$dónde$f : z \to x$no agrega ninguna información (aparte del hecho de que$z \leq x$) ya que hay como máximo uno$f : z \to x$. Por lo tanto, podemos considerar equivalentemente un tamiz$S$en$x$ser una colección$S \subseteq \{z \in P : z \leq x\}$st para todos$z \in S$, para todos$w \leq z$,$w \in S$. Esto es lo que llamaré un tamiz PO.

dado un tamiz$S$en$y$y una flecha$f : x \to y$, podemos definir la$f^*(S) = \{(g, z)| g : z \to x$y$f \circ g \in S\}$, un colador$y$.

En consecuencia, dado un tamiz PO$S$en$y$y algo$x \leq y$, podemos definir$S_x = \{z : z \leq x$y$z \in S\}$, un colador$x$.

Una topología de Grothendieck sobre una categoría$C$es un mapeo de cada objeto$x \in C$a una familia$F_x$de tamices en$x$que satisface varios axiomas.

En consecuencia, una topología PO-Grothendieck en un poset$P$debe ser un mapeo de cada elemento$x \in P$a una familia$F_x$de tamices de PO que satisface los axiomas correspondientes.

Axioma 1 de Topología de Grothendieck: para cada$x \in C$, tenemos$\{(f, z) : f : z \to x\} \in F_x$.

Correspondiente Axioma 1 de PO-Topología de Grothendieck: para cada$x \in P$, tenemos$\{z : z \leq x\} \in F_x$.

Axioma 2 de Topología de Grothendieck: para cada$f : x \to y$, por cada tamiz$S \in F_y$, tenemos$f^*(S) \in F_x$.

Correspondiente Axioma 2 de PO-Topología de Grothendieck: para cada$x \leq y$y para cada tamiz PO$S \in F_y$, tenemos$S_x \in F_x$.

Axioma 3 de la topología de Grothendieck: supongamos que tenemos$S \in F_x$. Y supongamos que tenemos un tamiz$P$en$x$tal que para todos$(f, z) \in S$,$f^*(P) \in F_z$. Después$P \in F_x$.

Axioma 3 correspondiente de la topología PO-Grothendieck: supongamos que tenemos$S \in F_x$. Y supongamos que tenemos un tamiz PO$P$en$x$st para todos$z \in S$,$P_z \in F_z$. Después$P \in F_x$.

¿Cómo se relaciona esto con los espacios topológicos generalizados? Supongamos dado un espacio tan generalizado. El conjunto parcialmente ordenado$P$es el conjunto de aperturas ordenadas por$\subseteq$. Supongamos que se le da alguna colección$C$de conjuntos abiertos. Definir$f(C) = \{U $abierto$: \exists V \in C (U \subseteq V)\}$. Tenga en cuenta que para cada tal$C$,$f(C)$es un tamiz PO. entonces dado$U$abierto, podemos definir$F_U = \{f(C) : C \in cov_X$y$\bigcup\limits_{V \in C} V = U\}$.

Verifiquemos que esto nos da una topología PO-Grothendieck.

Axioma 1: esto se sigue del hecho de que$\{U\} \in cov_X$para todos$U$- es decir, se sigue del axioma A3.

Axioma 2: esto se sigue del axioma A5.

Axioma 3: esto se sigue del axioma A6.

Finalmente, volvamos a su ejemplo de$\mathbb{N}$con "abre" conjuntos recursivamente enumerables y "cubre" enumeraciones recursivas de conjuntos recursivamente enumerables. Dado que esto satisface los axiomas A3, A5 y A6, forma una topología PO-Grothendieck.