Mantener los factores de fase en Sqrt

Jan 06 2021

Estoy tratando de trazar ciertas funciones holomórficas que contienen raíces cuadradas y superiores. En el sentido de análisis complejo, la función$f:z\mapsto z^\alpha$ para algunos $\alpha\in\mathbb C$ tiene un factor de fase $e^{2\pi i\alpha}$ a $z=0$, lo que significa que en un pequeño camino circular alrededor $0$ la función $f$recoge este factor. ¿Hay alguna forma de implementar esto en Mathematica?

Por ejemplo,

g[z_] = z^4;
Sqrt[g[Exp[Pi I/2]]]

da 1 como resultado, donde me gustaría que Mathematica mantuviera la fase $g(e^{\pi i/2})=e^{2\pi i}$ y luego calcular $$\sqrt{g(e^{\pi i/2})}=e^{\pi i}=-1.$$Con Sqrto$(\cdot)^{1/2}$esto no parece posible, ya que escogen las principales raíces cuadradas. ¡Muchas gracias por su ayuda!

EDITAR Aquí hay un ejemplo:

lim = 5; dlim = 20; 
f1[z_] = Sqrt[z^8];
f2[z_] = z^4;
p1 = ParametricPlot[{Re[f1[1 + d I]], Im[f1[1 + d I]]}, {d, -dlim, 
    dlim}, PlotRange -> {{-lim, lim}, {-lim, lim}}];
p2 = ParametricPlot[{Re[f2[ 1 + d I]], Im[f2[1 + d I]]}, {d, -dlim, 
    dlim}, PlotRange -> {{-lim, lim}, {-lim, lim}}];
GraphicsGrid[{{p1, p2}}]

Obviamente las funciones f1y f2no son las mismas, al igual que$\sqrt{x^2}=|x|$ no es igual a $x$ en $\mathbb R\ni x$. Para mi propósito, estoy bastante interesado en una resolución de la raíz cuadrada que conduzca a una función suave. Los gráficos anteriores tienen el siguiente aspecto:

En la imagen de la izquierda se ven puntos donde la función cruza la rama cortada de la raíz cuadrada. Me pregunto si hay una forma de evitarlo, como en la imagen de la derecha, sin poder resolver la raíz cuadrada a mano. Por ejemplo, si uno agrega una expresión a$z^8$ que contiene fases similares, me gustaría tomar una fase común de la raíz cuadrada, para no ser afectado por el corte de la rama.

También se puede deformar la función anterior para decir $f(z)=\sqrt{z^8+\varepsilon}$ para algunos $\varepsilon>0$. Entonces no hay forma de sacar la raíz cuadrada de genérico$z$, y no es posible trazar una deformación de la imagen de la derecha. Independientemente, estoy interesado en encontrar una manera de hacerlo, de modo que la imagen correcta se deforme continuamente.

El verdadero interés mío proviene de las raíces cuadradas de las funciones modulares EllipticThetay DedekindEta, que se transforman bajo ciertas transformaciones lineales fraccionarias con fases. Entonces está bien definido tener expresiones como$\sqrt{\vartheta_4(z)^8+\varepsilon \vartheta_2(z)^4\vartheta_3(z)^4}$ ya que ambos sumandos se transforman con las mismas fases.

Todos los problemas anteriores provienen del hecho de que Mathematica expresa números complejos en cada paso, ya sea en coordenadas cartesianas o ignora todo módulo $2\pi$en forma polar. Sería bueno encontrar una manera de evitar que Mathematica haga esto, sin tener que redefinir cada operación. ¡Muchas gracias!

Respuestas

5 Dominic Jan 07 2021 at 02:38

Este es un ejemplo del problema general de continuar analíticamente una función de valores múltiples a lo largo de un camino continuo.

En el caso de una función algebraica como $w=\sqrt{z^8}$, podemos escribirlo como $f(z,w)=w^2-z^8=0$ y en tu caso dejar $z(t)=1+it$, escribir: $$ \frac{dw}{dt}=-\frac{f_z}{f_w}\frac{dz}{dt}=\frac{4i(1+it)^7}{w} $$ A continuación, resolvemos el PVI (de varios valores): $$ \frac{dw}{dt}=\frac{4i(1+i t)^7}{w};\quad \{w_0\}=\{f(z(t_0),w)=0\} $$ donde la DE y los valores iniciales $\{w_0\}$ por $t_0=-5$ están configurados como:

tStart = -5;
tEnd = 5;
thez[t_] = 1 + t I;
theDE = w'[t] == ((4 I z^7)/w /. {z -> thez[t],
    w -> w[t]});
wStart = w /. Solve[w^2 == (1 + tStart I)^8, w]

Ahora resuelva ambos IVP y grafique los resultados:

colors = {Red, Blue};
plotTable = Table[
   dSol = 
    First[NDSolve[{theDE, w[-5] == wStart[[i]]}, 
      w, {t, tStart, tEnd}]];
   theSol[t_] := Evaluate[Flatten[w[t] /. dSol]];
   ParametricPlot[{Re[theSol[t]], Im[theSol[t]]}, {t, tStart, tEnd}, 
    PlotRange -> {{-5, 5}, {-5, 5}}, PlotStyle -> colors[[i]]],
   {i, 1, 2}];
Show[plotTable]