$\mathbb N$ es un campo
Encontramos una biyección $\phi$ Entre $\mathbb N$ y $\mathbb Q$. Por tanto, definir la suma y la multiplicación correspondientemente en$\mathbb N$ (tal que $\phi$ se convierte en un homomorfismo) transforma $\mathbb N$ en un campo.
¿Hay algún error en mi razonamiento?
Respuestas
Un campo no es solo un conjunto , es un conjunto junto con alguna estructura adicional (las dos operaciones de campo). Entonces no es del todo cierto que$\mathbb{Q}$ es un campo - más bien, $(\mathbb{Q};+,\times)$ es un campo.
Las biyecciones nos permiten "estructura de transporte": si $\oplus,\otimes$ son operaciones binarias en algún conjunto $A$ tal que $(A;\oplus,\otimes)$ es un campo y $f:A\rightarrow B$es una biyección, podemos dar$B$la estructura de un campo de forma natural: considere las operaciones$\hat{\oplus}$ y $\hat{\otimes}$ dada por $$x\hat{\oplus} y=f(f^{-1}(x)\oplus f^{-1}(y))\quad\mbox{and}\quad x\hat{\otimes}y=f(f^{-1}(x)\otimes f^{-1}(y))$$ para $x,y\in B$. Pero el set $B$en sí mismo no es un campo; más bien, la estructura $(B; \hat{\oplus},\hat{\otimes})$ es un campo.
En particular, cuando levantamos el habitual $+$ y $\times$ a lo largo de tu biyección favorita $h:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{N}$, tenemos operaciones $\hat{+}$ y $\hat{\times}$ tal que $(\mathbb{N};\hat{+},\hat{\times})$es un campo, pero estas operaciones tendrán un aspecto muy extraño; en particular, serán totalmente diferentes de la suma y multiplicación habitual de números naturales a los que estamos acostumbrados. Entonces no hay tensión entre este resultado y el hecho de que$(\mathbb{N};+,\times)$claramente no es un campo.
No hay error. De hecho, cualquier conjunto infinito se puede convertir en un campo. Tenga en cuenta que las operaciones que defina en$\mathbb N$ de esta manera será necesariamente diferente de la adición y multiplicación habituales de números naturales (porque con las operaciones habituales los números naturales no son un campo).
Usando el mapeo diagonal habitual pero alternando entre valores positivos y negativos y omitiendo las representaciones duplicadas de "fracciones no en términos más bajos" podemos tener la biyección de la cual los primeros términos son:
$$1\mapsto 0; 2\mapsto 1;3\mapsto -1; 4\mapsto 2;5\mapsto -2; 6\mapsto \frac 12; 7\mapsto -\frac 12; 8\mapsto 3;9\mapsto -3;10\mapsto \frac 13;11\mapsto -\frac 13; 12\mapsto 4;13\mapsto -4; 14\mapsto \frac 32; 15\mapsto -\frac 32; 16\mapsto \frac 23; 17\mapsto -\frac 23; 18\mapsto \frac 14;19\mapsto -\frac 14... etc...$$
Ahora bien, este es un campo. La identidad aditiva es$1$ y $1 + k = k+1 = k$ para todos $k \in \mathbb N$.
Cada valor $k$ tiene un aditivo inverso, $-k$ de modo que $k+(-k)= 1$. Por ejemplo, el inverso aditivo de$4$ es $-4 =5$ y $4+5 = 1$. Igualmente$-11 = 10$ y $11 + 10 = 1$.
La identidad multiplicativa es $2$ y $2\cdot k = k\cdot 2 = k$ para todos $k \in \mathbb N$.
Y por cada valor $k$ excepto $1$, tendrá un inverso multiplicativo $\frac 1k$ dónde $k\cdot \frac 1k = 2$. Por ejemplo$\frac 14 = 6$ y $4\cdot 6 = 2$.
Y así.
Todo esto tiene sentido porque todo lo que hice fue reemplazar los números racionales "habituales" con lo que se asigna a ellos. Si tomo notas de$k \color{blue}{\mapsto m}$ para representar lo que "realmente" quiero decir y cortar y pegar lo que escribí arriba sería:
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Ahora bien, este es un campo. La identidad aditiva es$1\color{blue}{\mapsto 0}$ y $1\color{blue}{\mapsto 0} + k = k+1\color{blue}{\mapsto 0} = k$ para todos $k \in \mathbb N$.
Cada valor $k$ tiene un aditivo inverso, $-k$ de modo que $k+(-k)= 1\color{blue}{\mapsto 0}$. Por ejemplo, el inverso aditivo de$4\color{blue}{\mapsto 2}$ es $-4\color{blue}{\mapsto 2} =5\color{blue}{\mapsto -2}$ y $4\color{blue}{\mapsto 2}+5\color{blue}{\mapsto -2} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$. Igualmente$-11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} = 10{\mapsto \frac 13}$ y $11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} + 10\color{blue}{\mapsto \frac 13} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$.
La identidad multiplicativa es $2\color{blue}{\mapsto 1}$ y $2\color{blue}{\mapsto 1}\cdot k = k\cdot 2\color{blue}{\mapsto 1} = k$ para todos $k \in \mathbb N$.
Y por cada valor $k$ excepto $1\color{blue}{\mapsto 0}$, tendrá un inverso multiplicativo $\frac 1k$ dónde $k\cdot \frac 1k = 2\color{blue}{\mapsto 1}$. Por ejemplo$\frac 1{4\color{blue}{\mapsto 2}} = 6\color{blue}{\mapsto \frac 12}$ y $4\color{blue}{\mapsto 2}\cdot 6\color{blue}{\mapsto \frac 12} = 2\color{blue}{\mapsto 1}$.
Y así.