Módulo de Hilbert terminado $C_0(\Lambda)$como espacio de secciones continuas del haz de Hilbert

Question

Dejar$\Lambda$ser un múltiple y$p:H\to\Lambda$un paquete de Hilbert continuo con$H(\lambda):=p^{-1}(\lambda)$. Suponer$\Gamma_0^0(\Lambda)$es el espacio de secciones continuas que se desvanece en el infinito de$H$. probé eso$\Gamma_0^0(\Lambda)$tiene la estructura de un$C_0(\Lambda)$módulo (con$C_0$siendo el espacio de funciones continuas que se desvanece en el infinito). Definir$H_{\lambda}=\Gamma_0^0(\Lambda)/\overline{K_{\lambda}}$donde$$K_{\lambda}=\text{span}\{f\varphi:\varphi\in \Gamma_0^0(\Lambda)\text{ and } f(\lambda)=0\}$$me interesa mostrarlo$H_{\lambda}$es isomorfo a$H(\lambda)$. ¿Alguien sabe alguna forma de probar esto o alguna referencia con una prueba similar? He encontrado problemas porque$\overline{K_\lambda}$no es necesariamente el núcleo del mapa de evaluación de$\Gamma_0^0$para$\mathbb{C}$. Hay varias referencias que apuntan a propiedades similares a esta, de hecho en Mathematical Quantization de Nik Weaver hay un resultado similar con respecto a$C(\Lambda)$módulos en el caso$\Lambda$es una variedad compacta pero no hay demostración. Ya revisé las referencias proporcionadas por Weaver y no encontré una prueba.

Answer 1

La referencia que cité en mi libro es Fell and Doran, Representations of${}^*$-Álgebras, Grupos Localmente Compactos y Banach${}^*$-Paquetes algebraicos , vol. 1 (1988). ¿Revisaste allí? No tengo una copia a mano pero recuerdo que este tratamiento fue muy completo.

Si eso no funciona, puede consultar mi artículo con Chris Phillips, Módulos con normas que toman valores en una C${}^*$-álgebra . El teorema 8 da un resultado más general sobre los módulos de Banach/paquetes de Banach. Las pruebas completas tampoco se dan aquí, pero hay referencias específicas a la disertación de Takahashi, Fields of Hilbert Modules (Tulane, 1971) que deberían llenar todos los vacíos.