Mostrando la convergencia de una serie dada la convergencia de una secuencia
Estoy trabajando en un problema que me pide que muestre lo siguiente: Dada una secuencia de números reales,$(x_n), n=0,1,2,...$tal que$x_n \rightarrow x$, muestra esa$$\lim_{p\to 1^{-}} (1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_n p^n = x$$Mi enfoque es tratar de probar esto de manera similar a como demostramos la fórmula de la serie geométrica (que sería simple si$(x_n)$eran una secuencia constante). Entonces, mirando las sumas parciales de la serie anterior, vemos que:$$(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_n p^n = x_0 + p(x_1-x_0) + p^2(x_2-x_1) +...+p^N(x_N-x_{N-1})+p^{N+1}X_{N}$$Desde aquí no puedo dejar$p\rightarrow 1^{-}$sin embargo, de lo contrario todo se cancelaría. Así que quiero usar el hecho de que$x_n$converge a$x$, y sospecho que tendré que usar el hecho de que desde$x_n \rightarrow x$, la$(x_m - x_{m-1})$los términos van a$0$para grande$m$. Sin embargo, todavía no sé cómo manejar los términos iniciales en la suma donde el$(x_m - x_{m-1})$Los términos no son despreciables.
Respuestas
$\epsilon>0$:
queremos demostrar que existe un$\delta$por lo cual si$p\in\left(1-\delta,1\right)$después$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\in\left(x-\epsilon,x+\epsilon\right)$. sabemos que x_n converge a x, entonces existe un N tal que para todo n>N tenemos:$x_n\in\left(x-\dfrac{\epsilon}{2},x+\dfrac{\epsilon}{2}\right)$. también sabemos que:$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}=(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}$. Veamos la segunda parte:$(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)p^{n}=\left(1-p\right)\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\dfrac{p^{N}}{1-p}=\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot P^{N}$
entonces tenemos:$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot p^{N}$
pero para p que está lo suficientemente cerca de 1, la primera parte tiende a cero y la segunda parte tiende a x menos épsilon. Entonces puede mostrar para el delta derecho el límite inferior que necesita. El límite superior se puede mostrar de una manera muy similar.
espero que esto sea entendible