Mostrar por cualquier prima impar $p\geq 5,$ $(-3/p)=1$ o $ -1$ [duplicar]
Mostrar por cualquier prima impar $$p\geq 5,$$ $$\left ( \frac{-3}{p} \right ) =\begin{cases} 1 & \text{ if } p\equiv 1,-5\pmod{12} \\ -1& \text{ if } p\equiv -1,5\pmod{12} \end{cases}$$
Hasta ahora tengo eso
(1) Deja $$p\equiv 1\pmod{4}$$ entonces $$p\equiv 1\pmod{3}$$ Llegar $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=-\left ( \frac{p}{3} \right )=-\left ( \frac{1}{3} \right )=-1$$
(2) Deja $$p\equiv 1\pmod{4}$$ entonces $$p\equiv 2\pmod{3}$$ Llegar $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=-\left ( \frac{p}{3} \right )=-\left ( \frac{2}{3} \right )=1$$
(3) Deja $$p\equiv 3\pmod{4}$$ entonces $$p\equiv 1\pmod{3}$$ Llegar $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{1}{3} \right )=1$$
(4) Deja $$p\equiv 3\pmod{4}$$ entonces $$p\equiv 2\pmod{3}$$ Llegar $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{2}{3} \right )=-1$$
Después de resolver los sistemas CRT obtengo, $$\left ( \frac{-3}{p} \right ) =\begin{cases} 1 & \text{ if } p\equiv 5,-5\pmod{12} \\ -1& \text{ if } p\equiv 1,-1\pmod{12} \end{cases}.$$
Así que no estoy seguro de dónde me equivoco. Cualquier ayuda sería apreciada.
Respuestas
Echó a perder algunos cálculos. Cuando$p\equiv1\pmod4$, $\left(\dfrac{-3}p\right)=\left(\dfrac{-1}p\right)\left(\dfrac{3}p\right)=1\left(\dfrac p3\right)$,
entonces en esos casos $\left(\dfrac{-3}p\right)=1$ cuando $p\equiv1\pmod3$ y $\left(\dfrac{-3}p\right)=-1$ cuando $p\equiv2\pmod3$ .