$\mu(A_n \Delta B_n)=0$para todos$n.$
Dejar$(X,S,\mu)$un espacio de medida, y dejar,$(A_n), (B_n)$dos secuencias de elementos de S. Si$\mu(A_n \Delta B_n)=0$para todos los n probar, los siguientes son$\mu-$conjuntos nulos ($\mu(E)=0$para$E\in$S):
i)$\mu( ( \bigcup^{\infty}_{n=1}A_n) \Delta (\bigcup^{\infty}_{n=1}B_n))$.
ii)$\mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n))$.
iii)$\mu((\overline{\lim} A_n) \Delta ((\overline{\lim} B_n))$.
iv)$\mu((\underline{\lim} A_n) \Delta ((\underline{\lim} B_n))$.
Porque (i) demuestro que$\mu(A_n - B_n)=\mu(B_n - A_n)=0$, porque$\mu(A_n \Delta B_n)=\mu((A_n-B_n)\cup(B_n-A_n))=0$y$B_n-A_n$,$A_n-B_n$son disjuntos, entonces$\mu(A_n \Delta B_n)=\mu((A_n-B_n)\cup(B_n-A_n))=\mu(A_n-B_n)+\mu(B_n-A_n)=0$para todo n, pero$\mu$no es negativo, entonces$\mu(A_n - B_n)=\mu(B_n - A_n)=0$.
Para (ii) usé eso$({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n)\subset ({\bigcap}_{n=1}^\infty A_n \Delta B_n)$entonces$\mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n))\leq \mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty A_n \Delta B_n))$.
Pero para (iii) y (iv) no estoy seguro.
Respuestas
Necesitamos algunas identidades generales:
Dejar$K$un conjunto de índices. Entonces:$$ \bigcup_{k\in K} X_k \triangle \bigcup_{k\in K} Y_k \subset \bigcup_{k\in K} X_k \triangle Y_k\\ X \triangle Y = X^{c} \triangle Y^c \\ \bigcap_{k\in K} X_k \triangle \bigcap_{k\in K} Y_k \subset \bigcup_{k\in K} X_k \triangle Y_k\\ $$La primera identidad: Si$a\in \bigcup_{k\in K} X_k$pero$a\notin \bigcup_{k\in K} Y_k$, entonces$a\in X_{k_0}$y$a\notin Y_{k_0}$, entonces$a\in X_{k_0}\triangle Y_{k_0}$, para algunos$k_0\in K$. El otro caso es similar.
La segunda: definición de diferencia de conjuntos.
Tercero: aplicar el primero y segundo y De-Morgan
Responder (i) y (ii) es una aplicación simple de las identificaciones anteriores +$\sigma$-subaditividad de la medida.
Para (iii): establecer$X_n=\bigcup_{k\ge n} A_k$y$Y_n=\bigcup_{k\ge n} B_k$. Entonces$X_n \triangle Y_n$es un conjunto nulo: está cubierto por una unión de conjuntos nulos:$X_n \triangle Y_n\subset \bigcup_{k\ge n} A_k \triangle B_k$, por la primera identidad.
Ahora bien, la relación$\bigcap_n X_n \triangle \bigcap_n Y_n\subset \bigcup_n X_n \triangle Y_n$implica igualmente que$\mu\left( \overline{\lim}A_n \triangle \overline{\lim}B_n\right)=0$.
El$\underline{\lim}$El caso es casi idéntico.