Muestra esa$\angle BOC=\angle AOD$.

Question

Dejar$E$y$F$sean las intersecciones de los lados opuestos de un cuadrilátero convexo$ABCD$. Las dos diagonales se encuentran en$P$. Dejar$O$sea ​​el pie de la perpendicular desde$P$a$EF$. Muestra esa$\angle BOC=\angle AOD$.

Aquí está el diagrama:

yo definí$X=OD\cap EP, Y=EP\cap FC,Z=FP\cap EB,W=FP\cap EC $.

Ahora, por un lema conocido, tenemos$(Y,X;P,E)=-1$y por el lema de apolonio, obtenemos$PO$biseca$\angle XOY \implies \angle XOP =\angle POY $.

Del mismo modo, sabemos que$(F,P;Z,W)=-1 \implies PO$biseca$\angle ZOW \implies \angle ZOP =\angle WOP$.

Pero estas igualdades de ángulo no me llevan a ninguna parte. ¿Alguien puede dar algunos consejos? Gracias por adelantado !

Answer 1

Permítanme reformular brevemente el problema.

Un triángulo$\triangle ABC$y tres cevianos$AD, BE, CF$que concurren en$P$son dados. Definir$O:=EF\cap AD$y deja$H$Sea la proyección ortogonal de$O$sobre$BC$. Pruebalo$\angle EHA=\angle KHF$.

Dejar$L:=AH\cap EF$y$K:=HP\cap EF$. Probaremos primero que$\angle LHO=\angle OHK$, y luego eso$\angle EHO=\angle OHF$. Observe que el resultado se sigue de estas observaciones.

Para la primera parte, nótese que --como es bien sabido--$$-1=(D,O;P,A)\stackrel{H}=(J,O; K, L)$$Ya que$(J,O; K, L)$es armónico y$\angle OHJ=90^\circ$, se infiere que, de hecho,$\angle LHO=\angle OHK$. La otra parte se puede probar de manera similar, ya que ya tenemos$(J,O;F,E)=-1$.