Necesario pero no suficiente
Esta pregunta ya se ha hecho aquí dos veces, a saber, aquí y aquí , pero ninguna de las respuestas aborda mi pregunta específica, excepto probablemente por esta respuesta , que se acerca.
Entonces, usando la notación de la respuesta cercana, no entiendo por qué tengo que descartar las tuplas $(T,T)$ y $(F,F)$.
Llamemos a la oración "Q es necesario pero no suficiente para P" R.
Como para $(F,F)$, si P es falso cuando Q también es falso, esto debería resultar en R = verdadero; ya que Q es necesario para P, entonces la ausencia de Q debería implicar la ausencia de P. ¿Por qué querría que R fuera falso en este caso?
Y para $(T,T)$, Me imaginaré una imagen más completa. Digamos que P depende de Q y algunos otros factores, denominados colectivamente W. Ahora, debemos dividir la fila$(T,T)$en 2, uno con W falso y otro con W verdadero. En el caso de W verdadero, R debería evaluarse como T, y en el caso de W falso, R debería evaluarse como falso. Entonces, ¿sobre qué base deberíamos decidir descartar$(T,T)$en la declaración original! En mi opinión, la disputa con$(T,T)$ debe ser indecidible.
Estaría agradecido si alguien pudiera explicarme por qué la respuesta correcta es $¬(¬r∧¬p)→¬q∧¬((¬r∧¬p)→q)$ de una manera diferente a la
"es necesario" se traduce en fulano de tal y "es suficiente" se traduce en fulano de tal, por lo que la conjunción del primero con la negación del segundo da la respuesta correcta.
Gracias
Respuestas
La declaración "$P$ es necesario para $Q$"significa" para tener $Q$, Debemos tener $P$"o $Q \to P$, aunque también podemos escribir el contrapositivo $\neg P \to \neg Q$.
La declaración "$P$ es suficiente para $Q$"significa" si tenemos $P$, definitivamente tenemos $Q$"o $P \to Q$, aunque también podemos escribir el contrapositivo $\neg Q \to \neg P$.
Entonces, la declaración "$P$ es necesario pero no suficiente para $Q$" Se puede escribir como $$(\neg P \to \neg Q) \land \neg (P \to Q).$$ En el ejemplo que has dado, $Q = q$ mientras $P = \neg r \land \neg p$ debido a los detalles de la otra pregunta, y si los sustituimos por $P$ y $Q$, obtenemos la declaración que está citando.
Si observa la declaración lógica con cuidado, resulta que $(\neg P \to \neg Q) \land \neg (P \to Q)$ solo es cierto en un caso: cuando $P$ es cierto, pero $Q$Es falso. ¿Porqué es eso? Porque para observar$P$ no siendo suficiente para$Q$, $P$ tiene que suceder, y $Q$ todavía tiene que dejar de suceder.
Esto no coincide con nuestras intuiciones para qué "$P$ es necesario pero no suficiente para $Q$"significa. Queremos decir algo como:
Hay algunos casos en los que $P$ sucede, y $Q$ no, porque $P$ no es suficiente para $Q$. Sin embargo, en todos los casos donde$Q$ sucede, $P$ también sucede: $P$ es necesario para $Q$.
Para decir cosas como esta, ¡el lenguaje de declaraciones lógicas no es suficiente! Tenemos que tener cuantificadores para hablar de "algunos casos" y "todos los casos".
Dejar $P(x)$ y $Q(x)$ denotar "en caso $x$, $P$ sostiene "y" en caso de $x$, $Q$ sostiene ". Entonces:
- "$P$ es necesario para $Q$"significa $\forall x\, Q(x) \to P(x)$.
- "$P$ es suficiente para $Q$"significa $\forall x\, P(x) \to Q(x)$. Su negación se simplifica a$\exists x\, P(x) \land \neg Q(x)$.
La declaración "$P$ es necesario pero no suficiente para $Q$"tiene la interpretación más sofisticada $$ (\forall x\, Q(x) \to P(x)) \land (\exists x\, P(x) \land \neg Q(x)). $$ Es decir: "En todos los casos $x$ dónde $Q(x)$ sostiene, $P(x)$también sostiene. Sin embargo, hay un caso en el que$P(x)$ aguanta, pero $Q(x)$ no".
Una simple declaración como $P(x) \land Q(x)$ no es ni verdadero ni falso, porque $x$no está cuantificado. La declaración universal$\forall x\, P(x) \land Q(x)$ es falso (porque de lo contrario, $P$ sería suficiente para $Q$), pero es posible que $\exists x\,P(x) \land Q(x)$es verdad. Esto es lo que quiere decir cuando dice "En mi opinión, la fila con$(T,T)$ debería ser indecidible ", pero eso no es algo de lo que podamos hablar sin cuantificadores: sin cuantificadores, las filas no pueden ser indecidibles.
El problema aquí es que estás tratando la implicación material, simbolizada por el conectivo lógico $\to$, como si fuera la noción cotidiana de implicación; no lo es.
'$Q$ es suficiente para $P$'significa precisamente que si $Q$ es verdad, entonces $P$debe ser verdad; formalizamos esto como$Q\to P$. Si$P$ y $Q$ son ambos falsos, esto es vacuosamente cierto, ya que no dice nada sobre la verdad de $P$ cuando $Q$Es falso. Así es simplemente como funciona la implicación material. Así,$R$ debe ser falso cuando $P$ y $Q$ son ambos falsos, ya que en ese caso $Q$ es suficiente para$P$.
La implicación también es cierta cuando ambos $P$ y $Q$ son verdaderas, simplemente porque $P$es verdad; de nuevo, así es como funciona la implicación material. En términos intuitivos, la implicación$Q\to P$ tiene el valor de verdad $F$ sólo cuando su falsedad pueda realmente demostrarse a partir de los valores de verdad de $P$ y $Q$, y ese es el caso solo cuando $Q$ es cierto y $P$Es falso. En todos los demás casos, su valor de verdad es$T$. Así,$R$ también debe ser falso cuando $P$ y $Q$ ambos son verdaderos.
Para decir lo mismo con palabras ligeramente diferentes, ninguno $(F,F)$ ni $(T,T)$ descarta la posibilidad de que $Q$ es suficiente para $P$, en un caso porque no tenemos $Q$, y en el otro caso porque tenemos $P$. El único caso que realmente descarta la posibilidad de que$Q$ es suficiente para $P$ es $(F,T)$. Si afirmamos, como$R$ hace eso $Q$no es suficiente para$P$, descartamos la posibilidad de que $Q$ es suficiente para $P$, entonces afirmamos que $P$ es falso y $Q$ es verdad.