Número de formas de asignar puntajes

Question

Una prueba que consiste en $12$ las preguntas se puntúan con $200$puntos. ¿De cuántas maneras puede$200$ Se asignarán puntos si cada pregunta debe valer al menos $10$ puntos pero no más de $25$ y las puntuaciones deben ser un múltiplo de $5$?

Estoy pensando en una posible combinación con la repetición. $15$ puntos ($80/5$) fuera de $12$preguntas. Pero no sé cómo aplicar la restricción máxima de$25$.$3$ a cada pregunta $\frac{25-10}{3}$.

Pero puede que tampoco sea una combinación con la repetición, ya que interpreto la declaración en el sentido de que no importa si la primera pregunta vale la pena. $30$ puntos y el segundo vale $10$, que es al revés. Entiendo que este ejemplo específico es una forma única, ¿no es así?

Answer 1

Dado que cada puntuación debe ser un múltiplo de $5$, también podríamos dividir todos los valores en puntos por $5$ y tiene $12$ preguntas que valen un total de $40$ puntos, cada pregunta vale al menos $2$ y como mucho $5$puntos. Si$p_k$ es el valor en puntos del $k$-ésima pregunta, estamos buscando la cantidad de soluciones para

$$\sum_{k=1}^{12}p_k=40\tag{1}$$

en enteros $p_k$ satisfaciendo la condición de que $2\le p_k\le 5$ para $k=1,\ldots,12$. Dejar$x_k=p_k-2$ para $k=1,\ldots,12$; luego el número de soluciones para$(1)$ sujeto a la restricción establecida es el mismo que el número de soluciones para

$$\sum_{k=1}^{12}x_k=16$$

en enteros no negativos $x_k$ satisfaciendo la condición de que $x_k\le 3$ para $k=1,\ldots,12$. Si no fuera por el límite superior de los números$x_k$, este sería un problema estándar de estrellas y barras , y habría$\binom{16+12-1}{12-1}=\binom{27}{11}$de ellos. Desafortunadamente, muchas de esas soluciones violan el límite superior en uno o más de los números$x_k$, entonces $\binom{27}{11}$es una sobreestimación significativa. Para corregir esto, deberá realizar un cálculo de inclusión-exclusión. Mi respuesta a esta pregunta incluye tal cálculo; intente utilizarlo como modelo para completar la solución de su problema.

Answer 2

Dado que todas las puntuaciones son múltiplos de $5$ podemos dividir por él, lo que resulta en $40$ puntos totales y puntuaciones de preguntas de $2$ a $5$puntos. Dado que cada pregunta debe ser al menos$2$ puntos, podemos pensar que las preguntas sostienen $24$ "puntos base", dejando el problema de cuántas formas hay de distribuir $16$ "puntos extra" al $12$ preguntas sin preguntas que tengan más de $3$ de ellos.

Como problema de función generadora, este es el $x^{16}$ coeficiente de $(1+x+x^2+x^3)^{12}$. Y la respuesta resulta ser$1501566$.