Órbitas de $SO(3)$

Question

Descargo de responsabilidad: esta pregunta tuvo varias ediciones; este trata el caso$k=\mathbb{R}$, mientras que publicaré otro para el caso complejo.

Considere la acción de $SO(3)$ en $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$, con coordenadas homogéneas $x_0,x_1,x_2$, de la forma $$SO(3)\times\mathbb{P}^2\to \mathbb{P}^2$$ $$(A,p)\mapsto Ap.$$ Me gustaría entender cuáles son las tres órbitas de esta acción y entender si la acción es transitiva, es decir $SO(3)\simeq \mathbb{P}^2$ es decir, ya que $SO(3)/SO(3)_p\simeq SO(3)p$, Me gustaria estudiar $$SO(3)/SO(3)_p.$$ Para hacerlo, consideré por simplicidad el poitn $p=(1:0:0)$, y he encontrado que $$SO(3)_p=\{A\in SO(3)\mid \text{the first columns of $UNA$ is equal to $pag$}\}.$$ Para concluir, debo mostrar que dado un punto $y\in \mathbb{P}^2$, existe una matriz $B\in SO(3)$ tal que $Bp=y$, es decir, la primera columna de $B$ es igual a $y$. Desafortunadamente, ahora estoy atascado, porque no sé cómo crear una matriz a partir de simplemente una columna$y$.

Answer 1

Necesitas una matriz $B$ tal que $Bp$ es proporcional a $y$ (pensando en $y$ como un vector en $\Bbb R^3$). Entonces el primer paso es reemplazar$y$ con $y/\|y\|$, por lo que es un vector unitario. Entonces necesitas una matriz de rotación cuya primera columna es$y$. Las otras dos columnas deben ser ortogonales para$y$y tienen que estar orientados positivamente. Entonces aquí hay una construcción:

Deje que la entrada más pequeña de $y$, en valor absoluto, sea el $i$th. Dejar$w = e_i$. Calcular$$ v = w - w \cdot y $$ que es ortogonal a $y$ (¿Por qué no puede ser cero? Eso es un ejercicio para ti), y luego deja $$ u = v / \| v \| $$ que es un vector unitario ortogonal a $y$. Entonces deja$B$ ser una matriz con columnas $y, u, $ y $y \times u$.

Pero tenga en cuenta que esto funciona para todos los puntos. $y$, no solo aquellos en tu curva $C$, así que realmente no entiendo cómo esto resuelve su problema. Probablemente he entendido mal algo.