Paquete normal y explosión

Question

Trabajemos sobre el complejo espacio proyectivo: considere una variedad suave $X$ y una subvariedad $Y$. Aprendí que, si hacemos la explosión de$X$ con centro $Y$, obtenemos una nueva variedad $\tilde{X}$, junto con un mapa $\pi: \tilde{X}\to X$, que es un isomorfismo fuera del locus excepcional, es decir $Y$.

Aunque no tengo una referencia precisa, me han dicho que el divisor excepcional de $Y$, esa es la imagen inversa $\pi^{-1}(Y)$, coincide con el paquete proyectivo del paquete normal, es decir,

$$\tilde{Y}=\pi^{-1}(Y)\simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X}^\vee)=(\mathcal{N}_{Y\mid X}\setminus Y)/\sim,$$

dónde $\sim$ es la acción estándar de $\mathbb{C}$.

Preguntas:

• ¿Cuál es una buena referencia de esta construcción? Sé que es el contenido del Teorema II.8.24 de la geometría algebraica de Hartshorne, pero sin un conocimiento de la teoría de esquemas (y construcción de proyectos y haces coherentes) es un poco difícil, así que quizás haya un texto más accesible;
• En las págs. 86-87 de estas notas ( https://www.math.ens.fr/~debarre/M2.pdf ), comenzamos con una curva racional $\Gamma^+$ en $X^+$ con paquete normal $\mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-2)$: luego los autores hacen la ampliación $\Gamma^+$, y afirma que el divisor excepcional es $$S^+_1=\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(1))$$ pero el uso de las fórmulas anteriores debería ser $\mathbb{P}(\mathcal{O}(1)\oplus \mathcal{O}(2))$: ¿Qué me estoy perdiendo?

Answer 1

A su declaración le falta una hipótesis: también necesitamos $Y$ser no singular. De todos modos, una referencia alternativa es la sección 22.3 de "The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry" de Vakil , que generalmente se considera una referencia más accesible que Hartshorne. Vakil no proporciona una prueba de la afirmación que desea (es el ejercicio 22.3.D), pero el paso previo al ejercicio puede brindar una guía útil sobre cómo probarla.

Desafortunadamente, no conozco una referencia para esta declaración que no use el lenguaje de esquemas, la construcción de Proj y poleas cuasicoherentes al menos hasta cierto punto.

Para responder a su segunda pregunta, los dos paquetes proyectivos son isomórficos, porque los paquetes proyectivos no cambian si se tensa por un paquete de líneas. Este es el ejercicio 17.2.G en las notas de Vakil y el Lema II.7.9 en Hartshorne. Otra referencia para la declaración general es Stacks Project, etiqueta 02NB . En particular, para todos$c \in \mathbb{Z}$, tenemos $$\mathbb{P}(\mathcal{O}(a) \oplus \mathcal{O}(b)) \cong \mathbb{P}(\mathcal{O}(a + c) \oplus \mathcal{O}(b + c)).$$