Poder de las sumas de matrices

Question

¿Cuál es la teoría detrás de la siguiente expresión, donde A + B representa matrices cuadradas nxn

Sé cómo se hace en álgebra, pero ¿cómo llegar a esta expresión? Obviamente, el teorema del binomio no es válido.

Answer 1

Las matrices no son conmutativas en general con respecto a la multiplicación. Por tanto, el orden de multiplicación debe conservarse al ampliar las potencias de las sumas de matrices.

$(A+B)^3$ realmente es $(A+B)(A+B)(A+B)$, y la expansión se determina eligiendo un término de cada factor y combinándolos en orden .

Answer 2

Es la ley distributiva, aplicada un montón de veces. Para subir a la segunda potencia y escribir todos los pasos:

$$(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A(A+B) + B(A+B) = AA + AB + BA + BB$$

Ya que no puedes reemplazar $BA$ con $AB$ para matrices (en general), eso es todo lo que puede llegar con la simplificación, excepto para recolectar corridas de la misma matriz como una potencia (p. ej. $AA = A^2$). ¿Puedes ver cómo funcionaría esto cuando multiplicas por$(A+B)$ ¿una vez más?