Por que es $1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$

Question

Sea A una matriz no cuadrada. ¿Por qué es verdadera la siguiente igualdad?

$$1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$$

Intento:

Dado que el valor propio de una matriz cuadrada $X$, es el recíproco del valor propio de $X^{-1}$, tenemos:

$$\lambda_{\max}(\mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\min}((\mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Tengo lo siguiente:

$$\lambda(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = 1 - \lambda(\mathrm A^\top \mathrm A)$$

$$\lambda_{\min}(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\max}((I - \mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Answer 1

Lo que quiere probar es bastante simple y es cierto para todas las matrices cuadradas, no solo para las de la forma $A^TA$. $\nu$ es un valor propio de $P$ si $1-\nu$ es un valor propio de $I-P$. Por tanto, cualquier valor propio de$I-P$ es de la forma $\nu=1-\lambda$ dónde $\lambda$ es un valor propio de $P$. Tomando el mínimo$\nu_\min=(1-\lambda)_\min=1-\lambda_\max$ ya que $1-\lambda$ se minimiza cuando $\lambda$ es máximo.