¿Por qué pi no se repite?
Ok, acabo de aprender el principio Pigeonhole (PHP) y su aplicación con expansión decimal.
Para transmitir mi pregunta con claridad, necesito transmitir mi comprensión de PHP con respecto a la expansión decimal, así que aquí va ...
Mediante el proceso de división larga, podemos obtener un número infinito de residuos ya que $0$también se considera un resto (consulte Fig 1para obtener lo que quiero decir) que es$>$número finito de valores posibles de residuos (por el teorema del cociente-residuo,$0≤r<d $)
→ Por PHP , definitivamente obtendremos un resto cuyo valor es el mismo que el valor del resto anterior (en la Fig.1, obtenemos un acierto cuando r 7 = r 1 )
→ Como tal, en algún momento, la secuencia de residuos se repetirá infinitamente
→ Esta secuencia de residuos puede ser ceros o distintos de cero
→ Si es una secuencia de ceros, obtenemos decimales terminales como $2$(como en $2.\color{red}{\overline{000}}\ldots$$... $ ) o $ 3.625 $ (como en $ 3.625 \ color {red} {\ overline {000}} \ ldots$$...$)
→ Si es una secuencia de no ceros, obtenemos un decimal periódico como $3/14$=$0.2\color{red}{\overline{142857}}\ldots$
Mi pregunta: Entonces, ¿por qué PI no entra en ninguna de estas categorías? ¿De alguna manera viola PHP ?
Disculpas por las capturas de pantalla de antemano.
Figura 1:
Respuestas
El segundo paso de su inferencia debe estar mejor justificado. Tenga en cuenta que en su configuración el divisor$d$debe estar en número entero para que la aplicación de PHP tenga sentido. Ahora hay dos casos.
El dividendo es un número entero, que se representa como $n.00000\ldots$. Luego puede usar PHP para argumentar que en algún resto se obtiene después de que se repite el punto decimal. Así que tienes$r_k=r_{k+n}$ para $k,n$obtenido después de los puntos decimales. Entonces necesitas argumentar más que derribar$0$ a $r_{k+n}$ produce un patrón de división periódica de longitud $n$ de ahí en adelante, lo que produce un decimal que eventualmente se repite en su respuesta.
El dividendo no es un número entero, sino un número real arbitrario. En este caso, PHP le dice que obtenga residuos duplicados. Pero no podrá argumentar más que la lista de residuos eventualmente se repite. Por ejemplo, considere dividir$2$ dentro $0.10100100010000\ldots$ (aqui tengo $1$ seguido por $n$ ceros para $n=1$ a $\infty$). Tu lista de restos es$0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0\ldots$sin repetición. Sin embargo, incluso si obtuvo una secuencia repetida de restos, esto no significaría necesariamente que su respuesta sea un decimal periódico. Por ejemplo, considere cualquier número real$x$, representado como decimal $a_0.a_1a_2a_3\ldots$. Haz la trivial larga división de$1$ dentro $x$. Obtendrás resto$0$ cada vez, pero la secuencia decimal en el cociente no necesita repetirse (eventualmente).
Ahora, en cuanto a $\pi$, tiene que encajar en el segundo caso , porque si comienza su división larga con el dividendo y el divisor como números enteros, entonces ya está calculando un número racional.
$\pi$es un número trascendental y no racional. El argumento de PHP parece aplicarse a números racionales.
Has asumido que puedes calcular $\pi$ dividiendo un número con un número finito conocido de dígitos por otro número con un número finito conocido de dígitos.
Ésta es la definición misma de lo que significa que un número sea racional. Y, de hecho, su argumento es una prueba correcta de que la representación decimal de cualquier número racional se repite.
Pero $\pi$no es racional. No se puede calcular dividiendo un número con un número finito conocido de dígitos por otro número con un número finito conocido de dígitos.