Pregunta de tarea: probabilidad conjunta

Question

He intentado el siguiente problema:

La entrada X a un canal de comunicaciones es $+1$ voltios o $-1$voltios con igual probabilidad. La salida Y del canal es la entrada más un voltaje de ruido N que se distribuye uniformemente en el intervalo de$-2$ voltios a $+2$voltios. Encuentra la probabilidad conjunta$P(X = +1, Y ≤ 0)$.

Aquí está mi intento de solución:

Primero notamos que la probabilidad $P(X = +1)$ se nos da en el problema como $1/2$ porque el problema nos dice que la entrada $X$ puede ser $+1$ o $-1$ con igual probabilidad.

Necesitamos encontrar la probabilidad $P(Y≤ 0)$. Se nos dice que la salida$Y$ es la entrada $X$ más $N$ que se distribuye uniformemente desde $-2 $ a $2$.

Entonces sabemos que si $ Y≤0$, entonces $-2≤N≤ -1$

Porque nos dicen que $N$ se distribuye uniformemente, podemos encontrar la probabilidad de que $N$ cumple nuestras condiciones de la siguiente manera:

$P(-2≤N≤ -1)=$$ \ frac {-1--2 \} {4} = \ frac18 $

Entonces:

$ P (X = + 1, Y≤0) = \ frac12 \ times \ frac14 = \ frac18 $

¿Es correcta mi solución? Si no es así, ¿podría señalar las fallas en mi solución?

Answer 1

Si.$$\small\begin{align}\mathsf P(X=+1, Y\leq 0)&=\mathsf P(X=+1, N\leq -X)&&N:=Y-X\\&=\mathsf P(X=+1)\,\mathsf P(N\leq -X\mid X=+1)&&\text{Conditional Probability}\\&=\mathsf P(X=+1)\,\mathsf P(N\leq -1)&&\text{Independence}\\&=\dfrac 12\cdot\dfrac{(-1)-(-2)}{4}&&\text{pmf and CDF of given distributions}\\&=\dfrac{1}{8}&&\text{Algebra}\end{align}$$