Pregunta en el espacio de cobertura
Esta declaración está en Topología y Geometría de Bredon.
Quiero mostrar la siguiente declaración.
Dejar $p_i:W_i\to Y, i=1,2$ estar cubriendo mapas de manera que $W_1$ está simplemente conectado, y deja $w_i\in W_i$ y $y\in Y$ ser tal que $p_i(w_i)=y$. Entonces hay un mapa único$g:W_1\to W_2$ tal que $g(w_1)=w_2$ y $p_2\circ g=p_1$. Más,$g$ es un mapa de cobertura.
El libro dice que la declaración se sigue de este Lema.
Lema. Dejar$W$estar conectado. Dejar$p:X\to Y$ ser un mapa de cobertura y $f:W\to Y$un mapa. Dejar$g_1$ y $g_2$ ser mapas $W\to X$ ambos son levantamientos de $f$. Si$g_1(w)=g_2(w)$ por algún momento $w\in W$ luego $g_1\equiv g_2$.
El lema asumió la existencia de elevación. Entonces creo que el lema se usa para mostrar la singularidad de$g$pero no conozco la existencia. Pensé en el criterio de elevación general para la existencia de elevación, pero no sabemos si$W_1$está conectado a la ruta localmente. Así que no sé cómo funciona la conectividad aquí. ¿Alguna ayuda o ideas? Gracias por adelantado.
Respuestas
El capítulo "Cubriendo espacios" en el libro de Bredon comienza con
Los espacios que consideraremos en esta sección serán todos Hausdorff, conectados en forma de arco y conectados localmente en forma de arco.
Creo que Bredon se equivoca cuando dice que el enunciado (Corolario 4.5) se deriva directamente del Lema 4.4. En cambio, se sigue del Corolario 4.2. Este Corolario muestra que el mapa$p_1 : (W_1,w_1) \to (Y,y)$ tiene un ascensor único $g : (W_1,w_1) \to (W_2,w_2)$. Esto significa$p_2 \circ g = p_1$.
Queda por demostrar que $g$es un mapa de cobertura. Bredon afirma que es un ejercicio simple en la definición de mapas de cobertura. No diría que es realmente simple.
Primero mostramos que $g$es sobreyectiva. Dejar$z_2 \in W_2$. Elija cualquiera$z_1 \in W_1$. Ya que$W_2$ está conectado en forma de arco, existe un camino $u : I \to W_2$ tal que $u(0) = g(z_1)$ y $u(1) = z_2$. El camino$p_2 \circ u : I \to Y$ empieza a $p_2(u(0)) = p_2(g(z_1)) = p_1(z_1)$ y por lo tanto tiene un ascensor único $v : I \to W_1$ tal que $v(0) =z_1$. Luego$g \circ v : I \to W_2$ empieza a $g(v(0)) = g(z_1)$. Tenemos$p_2 \circ g \circ v = p_1 \circ v = p_2 \circ u$. Así$u$ y $g \circ v$ son ascensores de $p_2 \circ u$ con ambos comienzan en $g(z_1)$. Así$u = g \circ v$ y $z_2 = u(1) = g(v(1)) \in g(W_1)$. Tenga en cuenta que la sobrejetividad de$g$ implica que para cada $M \subset Y$ $$g(p_1^{-1}(M)) = p_2^{-1}(M). \tag{1}$$
A continuación mostramos que cada $z_2 \in W_2$Tiene un vecindario abierto conectado en forma de arco que está cubierto uniformemente. Dejar$V_1$ y $V_2$ ser barrios abiertos conectados en forma de arco de $p_2(z_2)$ en $Y$ que están cubiertos uniformemente por $p_1$ y por $p_2$. Existe un vecindario abierto conectado en forma de arco$V$ de $p_2(z_2)$ en $Y$ tal que $V \subset V_1 \cap V_2$. El conjunto$V$ está cubierto uniformemente por ambos $p_1$ y $p_2$. Escribir$p_i^{-1}(V) = \bigcup_{\alpha_i \in A_i} U_{i,\alpha_i}$ con pares separados abiertos $U_{i,\alpha_i} \subset W_i$ tal que las restricciones $p_{i,\alpha_i} : U_{i,\alpha_i} \stackrel{p_i}{\to} V$son homeomorfismos. De ahí todo$U_{i,\alpha_i} $están conectados en forma de arco. Ya que$g$ es continuo, cada $g(U_{1,\alpha_1})$ está conectado en forma de arco y por lo tanto contenido en un $U_{2,\phi_g(\alpha_1)}$(está contenido en la unión disjunta de conjuntos abiertos conectados en forma de arco, por lo que solo uno de estos conjuntos puede cruzarlo). Escribir$g_{\alpha_1} : U_{1,\alpha_1} \stackrel{g}{\to} U_{2,\phi_g(\alpha_1)}$. Tenemos$p_{2,\phi_g(\alpha_1)} \circ g_{\alpha_1} = p_{1,\alpha_1}$, por lo tanto $g_{\alpha_1} = p_{2,\phi_g(\alpha_1)}^{-1} \circ p_{1,\alpha_1}$ que muestra que $g_{\alpha_1}$es un homeomorfismo. La función$\phi_g : A_1 \to A_2$ debe ser sobreyectiva por $(1)$.
Ahora $z_2$ está contenido en un único $U_{2,\bar \alpha_2}$. Dejar$A' = \phi_g^{-1}(\bar \alpha_2)$. Luego$g^{-1}(U_{2,\bar \alpha_2}) = \bigcup_{\alpha_1 \in A'} U_{1, \alpha_1}$ que muestra que $U_{2,\bar \alpha_2}$ está cubierto uniformemente por $g$.