Pregunta objetiva de análisis real.

Question

No sé exactamente cómo resolverlo, pero mi intento es el siguiente

$$f’(x)=\sin^4(2g(x))$$Entonces, la función es diferenciable ya que la composición de dos funciones diferenciables es diferenciabilidad. Ahora tiene infinitos ceros porque sin(x) tiene infinitos ceros. Por favor recomiende. Gracias .

Answer 1

Tienes que usar el$\mathscr{chain \ rule}$y el$\mathrm{FTC}$aquí.

Si$f(x) = \int_0^{g(x)} \sin^4(2t)dt$, entonces$f(x) = h(g(x))$donde$h(u) = \int_0^u \sin^4(2t)dt$.

Por lo tanto,$f'(x) = h'(g(x))g'(x)$. Pero$h'(u) = \sin^4(2u)$por la FTC, entonces:$$ f'(x) = \sin^4(2g(x))g'(x) $$

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Ya que$g$es diferenciable, es continuo, y como es continuo, tiene la propiedad de valor intermedio. Ya que$g$es ilimitado, es fácil ver que para lo suficientemente grande$N$, las cantidades$\{n\pi : n \in \mathbb N , n > N\}$estará en el rango de$g$. Para$n > N$, dejar$x_n$ser tal que$g(x_n) = n\pi$. Desde arriba,$f'(x_n) = 0$. Por lo tanto$f'$de hecho tiene infinitos ceros.