Pregunta sobre asíntotas.

Question

Dejar $f(x) = 3\cdot\frac{x^4+x^3+x^2+1}{x^2+x-2}.$ Dar un polinomio $g(x)$ así que eso $f(x) + g(x)$ tiene una asíntota horizontal de $0$ como $x$ se acerca al infinito positivo.

He intentado usar eso si el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, la asíntota horizontal es $y = 0$, pero no pude llegar a ninguna parte. ¿Cómo debo solucionarlo?

Answer 1

Realice la división euclidiana del numerador por el denominador: $$x^4+x^3+x^2+1=(x^2+3)(x^2+x-2) -3x+7. $$ Deducimos $$f(x)=3(x^2+3)+3\frac{-3x+7}{x^2+x-2}.$$ La fracción tiende a $0$ como $x\to\infty$, por lo tanto podemos tomar $\:g(x)=-3(x^2+3)$.

Answer 2

La mejor respuesta es que después de hacer una división larga polinomial, obtienes $f(x)=3x^2+9+\frac{-9x+21}{x^2+x-2}$. Tenga en cuenta que el tercer término satisface su requisito de asíntota horizontal de$0$y así dejas $g(x)$ cancelar la parte izquierda, entonces $g(x)=-3x^2-9$.

Grafico: https://www.desmos.com/calculator/6ynoxvdfpe