Pregunta sobre campos finitos

Question

Soy de Brasil, así que mi inglés no es el mejor, lo siento si hay algo mal. Estoy usando$|F_q|$ para el cardenal del campo.

yo tengo $\mathbb{F}_q$ un campo finito de características $p$ y cardenal $q$, $p$ es un número primo y $q$ es un poder de $p$.

Es un ejercicio muy largo, ya lo demostré por $p=2$ $\mathbb{F}_q=\mathbb{F}_q^2$ y para $p\neq2$ Yo muestro eso $|\mathbb{F}_q^{*^2}|=\frac{q-1}{2}$ y $|\mathbb{F}_q^2|=\frac{q+1}{2}$.

Luego mostré las propiedades:

$x\in \mathbb{F}_q^* \Longrightarrow x^{\frac{q-1}{2}}=\pm 1;$

$x \in \mathbb{F}_q^{*^2} \Longleftrightarrow x^{\frac{q-1}{2}}= 1;$

$-1\in \mathbb{F}_q^{*^2} \Longleftrightarrow q-1\equiv 0$ (modificación $4$).

Ahora tengo problemas para mostrar esto:

Si $-1$ y $x$ no son cuadrados de $\mathbb{F}_q^*$, entonces $-x$ es un cuadrado de $\mathbb{F}_q$.

Y también, tengo problemas para demostrar que en el campo $\mathbb{F}_p$, suponer que $$A=\{ -x^2; x\in \mathbb{F}_p \} \quad \text{and} \quad B=\{ 1+y^2;y \in \mathbb{F}_p \}$$

Tengo que demostrar eso $|A|=|B|=\frac{p+1}{2}$y deducir que existen $x$ y $y$ en $\mathbb{F}_p$ tal que $$1+x^2+y^2=0$$ y existir $a$ y $b$ $$p|1+a^2+b^2.$$

Answer 1

Por lo que ya has probado $(-1)^{(q-1)/2}= -1$. Por lo tanto$(q-1)/2$es impar. también$x^{(q-1)/2}=-1$. Pero entonces$(-x)^{(q-1)/2}=(-1)^{(q-1)/2}(x)^{(q-1)/2}=1$, entonces, de nuevo por lo que has probado, $-x$es un cuadrado. QED

Una prueba del resto de la pregunta, por cada potencia primaria extraña $q=p^n$. El grupo multiplicativo$\Bbb{F}_q^*$ es abeliano de orden $q-1$. El mapa$x\mapsto x^2$es un homomorfismo. Su núcleo es$\{x\mid x^2=1\}=\{-1,1\}$ de orden 2 porque $1\ne -1$ ya que $q$ es impar, por lo que la imagen (el conjunto de todos los cuadrados distintos de cero) es de tamaño $(q-1)/2$. Entonces el set$S$ de todos (incluido cero) cuadrados de $\Bbb{F}_q$ es de tamaño $(q-1)/2+1=(q+1)/2$. Entonces el set$A$ y el set $B$ son del mismo tamaño: el conjunto $A$ se obtiene de $S$ agregando el $-$ firmar a cada elemento, el conjunto $B$ se obtiene sumando $1$ a cada elemento de $S$. Si$A$ y $B$ no se cruzó entonces $A\cup B$ contendría $q+1$ elementos $>|\Bbb{F}_q|$. Por lo tanto$A\cap B$no está vacío. De ahí que exista$x, y$ tal que $-x^2=1+y^2$ o $1+x^2+y^2=0$ lo que significa $1+x^2+y^2\equiv 0\mod p$.