Pregunta sobre funciones crecientes y decrecientes

Question

Dejar $f: \Bbb R\rightarrow \Bbb R$ ser una función diferenciable tal que $f '(0)=1$ y $f(x+y)=f(x)f(y)$ para todos $x\in\Bbb R$. cual de los siguientes es verdadero

1. Ambos $f$ y $f '$ están disminuyendo la función
2. Ambos $f$ y $f '$ están aumentando la función
3. $f$ está aumentando la función pero $f '$ es función decreciente
4. $f$ es función decreciente y $f '$ es función decreciente

Mi intento: lo probé tomando$x=y$y luego diferenciando. También lo intenté poniendo ambos$x$ y $y$ igual a $0$.

Answer 1

Diferenciar wrt $x$ Llegar $f'(x+y)=f'(x)f(y)$. Poner$x=0$ ahora para conseguir $f'(y)=f(y)$. Esto implica$f(y)=ce^{y}$ por alguna constante $c$ y esto también implica que $f'=f$. ¿Puedes terminar?

(Tienes que volver a la hipótesis para demostrar que $c$ debe ser $1$).

Answer 2

Un resultado aún más general se mantiene en relación con su problema:

Asumir $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$es continuo y satisface la relación$f(x+y)=f(x)f(y)$ para cualquier $x, y \in \mathbb{R}$. Entonces existe un número real$a \in \mathbb{R}$ tal que $f(x)=\mathrm{e}^{ax}$ para cualquier $x \in \mathbb{R}$.

Prueba. $f$ es un morfismo entre el grupo aditivo $(\mathbb{R}, +)$ y el monoide multiplicativo $(\mathbb{R}, \cdot)$, de donde en virtud del álgebra elemental debe ser que $\mathrm{Im}f \subseteq \mathbb{R}^*$(la imagen se incluye en el grupo de unidades del monoide objetivo). Además, por arbitrario$x \in \mathbb{R}$ uno tiene $f(x)=f(2\frac{x}{2})=f\left(\frac{x}{2}\right)^2 \geqslant 0$ que combinado con la observación anterior significa que $f(x)>0$ para cualquier $x \in \mathbb{R}$ y por lo tanto $\mathrm{Im}f \subseteq (0, \infty)$. Denotamos por$g={}_{(0, \infty)|}f$ la corestricción de $f$ al dominio estrictamente positivo.

Permítanos presentarle más el mapa $h=\mathrm{ln} \circ g$. Dado que el logaritmo natural es un morfismo continuo del grupo multiplicativo$\left(\mathbb{R}^*_{+}, \cdot\right)$ al grupo de aditivos $(\mathbb{R}, +)$ y $g$ también es un morfismo grupal continuo, su composición $h$ También habrá un morfismo grupal continuo de $(\mathbb{R}, +)$ a sí mismo (en otras palabras, un endomorfismo del grupo aditivo mencionado).

Sin embargo, es un hecho clásico que cualquier endomorfismo continuo del grupo $(\mathbb{R}, +)$ es de la forma $x \mapsto tx$ por cierto $t \in \mathbb{R}$. Esto significa, en particular, que existe$a \in \mathbb{R}$ tal que $h(x)=ax$ para cualquier $x \in \mathbb{R}$. Recordando la definición de$h$, esto implica $f(x)=\mathrm{e}^{ax}$ para cualquier $x \in \mathbb{R}$. $\Box$

Volviendo al caso particular de su problema y agregando la hipótesis de que $f'(0)=1$, ya que $f'(x)=a\mathrm{e}^{ax}$ para cualquier $x \in \mathbb{R}$ puedes inferir inmediatamente que $a=1$ y por lo tanto $f$ es la función exponencial de base $\mathrm{e}$.