Pregunta sobre la instanciación existencial
Estaba teniendo problemas para comprender la instanciación existencial. Mi libro de texto (Rosen - Discrete Mathematics and its Applications) establece esto sobre la instanciación existencial:
La instanciación existencial es la regla que nos permite concluir que hay un elemento c en el dominio para el cual P (c) es verdadero si sabemos que ∃xP (x) es verdadero. No podemos seleccionar un valor arbitrario de c aquí, sino que debe ser ac para el que P (c) es verdadero. Por lo general, no tenemos conocimiento de lo que es c, solo que existe. Debido a que existe, podemos darle un nombre (c) y continuar con nuestro argumento.
Esto tiene sentido para mí para ciertas declaraciones existenciales.
Por ejemplo, considere la declaración $\exists x\in \mathbb{Z}$ $(x + 1 = 2)$. Solo hay un número entero que hace que la función proposicional ($x + 1 = 2$) verdadero (es decir, $1$). Por tanto, para mí tiene sentido que un nuevo símbolo$c$ se puede crear para nombrar "el entero que hace $x + 1 = 2$ cierto".
Sin embargo, considere la declaración $\exists x\in \mathbb{Z}$ $(x * 0 = 0)$. Hay muchos enteros que hacen que la función proposicional ($x * 0 = 0$) verdadero (ej. $1$, $2$, $3$).
En este caso, cuando creamos un nuevo símbolo $c$, ¿este símbolo nombra "uno de los números enteros que hace $x * 0 = 0$ verdadero "? Encuentro esto un poco ambiguo, así que me preguntaba si estaba entendiendo correctamente el significado de este símbolo.
Por favor aclare y gracias por su tiempo.
Respuestas
Sin embargo, considere la declaración $\exists x\in \mathbb{Z}$ $(x * 0 = 0)$. Hay muchos enteros que hacen que la función proposicional ($x * 0 = 0$) verdadero (ej. $1$, $2$, $3$).
En este caso, cuando creamos un nuevo símbolo $c$, ¿este símbolo nombra "uno de los números enteros que hace $x * 0 = 0$ cierto"?
Sí, eso es exactamente. Entonces ... aunque el uso de$c$sugiere que sabemos exactamente de qué objeto estamos hablando, de hecho, este no es el caso. Todavía solo sabemos que hay al menos un objeto que satisface la fórmula en cuestión. Pero, para poder hacer nuestro razonamiento adicional, necesitamos poder hablar sobre 'uno de esos objetos' y, para eso, este sistema usa una constante individual ... no se usó en otra parte de la prueba para referirse a algún otro objeto.
Tenga en cuenta que hay otros sistemas de prueba formales que no utilizan $c$ en este caso, pero mantén la variable como variable, lo que tiene la ventaja de la sugerencia de que de hecho no sabes de qué objeto específico estás hablando ... pero el inconveniente es que ahora obtienes líneas en la prueba de que, cuando se toma fuera de contexto del resto de la demostración, tendría una variable libre ... y eso es un inconveniente suficiente para que algunas personas usen constantes en su lugar.
A veces he pensado que tal vez una forma de lidiar con todo esto es tener un tercer conjunto de formas de apuntar a objetos que no sean constantes y variables: símbolos que de hecho usarías para esta instanciación existencial, y que denotan 'algún objeto con alguna propiedad, aunque no sabemos cuál ', es decir, no completamente arbitraria (como una variable normal), pero tampoco específica (como una constante). Sin embargo, nunca sentí que los sistemas formales hicieran algo así.