Prisma rectangular con volumen y superficie

Question

Aquí está la pregunta: un prisma rectangular tiene un volumen de $720$ cm$^3$ y una superficie de $666$ cm$^2$. Si las longitudes de todos sus bordes son números enteros, ¿cuál es la longitud del borde más largo?

Esto es de una competencia previamente cronometrada. Las respuestas rápidas serán las más útiles.

Puede configurar ecuaciones y usar las fórmulas de Vieta para obtener $x^3+bx^2+333x-720$. ¿Cómo soluciono el problema después de esto?

Answer 1

Tenemos $$xyz=720$$ y $$xy+xz+yz=333,$$ dónde $x$, $y$ y $z$ son naturales.

Ahora deja $x\geq y\geq z$.

Así, $$720\geq z^3,$$ lo que da $$1\leq z\leq8$$ y $z=3$ es válido, lo que da $x=16$ y $y=15.$

Answer 2

Factorizar $720$ como producto de tres factores, luego por pares, sus productos suman $333$. Una vez que vea esto, sabrá que dos de los factores deben ser impares.

De prueba y error, obtengo el lado más largo para ser $16$, con los otros dos lados $3$ y $15$. Verificando:

$$3\times15\times16=720,\qquad 2\times(3\times15+15\times16+16\times3)=666.$$