Probabilidad / Combinatoria

Question

La pregunta es:

Una urna contiene 6 negros y un número desconocido ($\le6$) de bolas blancas. Se extraen tres bolas una a una sin reemplazo y todas son blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima bola extraída sea negra?

Propongo la siguiente solución: Calculamos la probabilidad de que haya r bolas blancas en la urna usando el Teorema de Bayes. Entonces esto será:$$ f(r) = \frac{\frac{{r}\choose{3}}{{6+r}\choose{3}}}{\sum_{r=3}^6\frac{{r}\choose{3}}{{6+r}\choose{3}} }$$donde f (r) denota la probabilidad de que haya r bolas blancas. Ahora, si hubiera r bolas blancas, la probabilidad de que el próximo sorteo sea negro es$g(r) = \frac{6}{6 + (r-3)} = \frac{6}{3+r}$, porque ya se han elegido 3 bolas blancas. Ahora, para obtener la probabilidad total de que la próxima bola extraída sea negra, se puede dar por:$$ \sum_{r=3}^6 f(r)\cdot g(r)$$

¿Es este enfoque correcto? La respuesta obtenida (calculé usando un script de Python) coincide en valor decimal con una de las opciones ($\frac{677}{909})$que es igual a 0,744. Si es correcto, me gustaría saber si hay una forma más elegante / menos calculadora de abordar esta pregunta. ¡Gracias!

Answer 1

Tu respuesta de ${\large{\frac{677}{909}}}$ es correcta, asumiendo como distribución previa que $r$ es igualmente probable que sea $0,1,2,3,4,5,6$.

Así, si asumimos, antes de dibujar el $3$ bolas, que para cada $r\in\{0,1,2,3,4,5,6\}$, la probabilidad de que la urna contenga $r$ bolas blancas es ${\large{\frac{1}{7}}}$, entonces para $r\in\{3,4,5,6\}$, la función $$ f(r)=\frac { {\displaystyle{\frac{\binom{r}{3}}{\binom{6+r}{3}}}} } { \;\; {\displaystyle{ \sum_{r=3}^6 \frac{\binom{r}{3}}{\binom{6+r}{3}} }} \;\; } $$es la probabilidad condicional de que la urna contenga inicialmente$r$ bolas blancas, dado que la primera $3$ las bolas extraídas eran blancas.

El resto de su análisis es correcto.