probar si las funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas

Question

[Tarea]

Hola,

Tengo algunas preguntas sobre la tarea mencionada anteriormente. Hay que mostrar si estas funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.

Esto parece sencillo para la mayoría de estas funciones:

(1) No inyectable ya que algunos valores se alcanzan varias veces. Tampoco es sobreyectiva ya que no cada y tiene una x correspondiente.

(2) Biyectiva, ya que existe una correspondencia uno a uno.

(3) Biyectiva, ya que es solo de los números naturales, por lo que cada valor se acertará exactamente una vez

(4) No entiendo muy bien por dónde empezar con este.

Mi pregunta ahora es: ¿Cómo puedo expresar esto correctamente? Algunos de estos parecen bastante intuitivos, pero estoy luchando con la notación correcta de esto.

Answer 1

$\bullet (1)$ toma $-1$ y $0$al mismo lugar, por lo que no es inyectable. Dudo que sea sobreyectiva, porque necesitamos una solución para$y=x^2+x$ para cualquier $y$. Tomar$y=-1$, decir. $x^2+x+1$no tiene raíces reales, ya que el discriminante es negativo. Completa el cuadrado y obtienes$y=(x+1/2)^2-1/4$. Por lo tanto, puede graficar y "ver" que nada menos que$-1/4$es golpeado. Después de todo, es una parábola (que se abre hacia arriba).

$\bullet(3)$ no es sobreyectiva: no todo natural es un cuarto poder

$\bullet (4)$ por supuesto no es inyectiva, sino sobreyectiva: dos conjuntos diferentes pueden tener el mismo $\inf$; hay un conjunto con cualquier natural como$\inf$

Answer 2

(4) No es inyectivo, ya que muchos subconjuntos pueden compartir el mismo elemento más pequeño. Pero es sobreyectiva, ya que para cualquier número natural$n$ hay uno mas grande $n+1$ de manera que ambos se encuentran en el subconjunto $\mathcal{P}(\mathbb N)$.