Problema de conteo de póquer
En Poker, recibo $2$ cartas y son un par de $8$s. ¿Cuáles son las posibilidades de que consiga, solo un par, 2 pares y trío (pero nada más alto) cuando las otras tres cartas se colocan hacia abajo?
Hice este problema solo por el par: $\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$que solo tenemos que elegir tres cartas y elegir palos al azar para ellas. No necesitamos elegir un traje para nuestro$8$s porque ya los tenemos?
La segunda parte, dado que ya tenemos un par, para conseguir dos pares: $\binom{4}{2}\binom{12}{1}\binom{11}{1}\binom{4}{1}$ elegimos dos palos para las dos cartas del mismo rango, y luego simplemente elegimos una carta al azar que no es del mismo rango que el primer o segundo par.
Para la última parte, dado que ya tenemos un par: $\binom{13}{1}\binom{4}{1}\binom{12}{2}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$ elegimos una carta que tiene el mismo rango que nuestro par, elegimos su palo y luego elegimos dos cartas al azar y elegimos sus palos.
Por lo tanto, el número de formas es: $\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1} + \binom{4}{2}\binom{12}{1}\binom{11}{1}\binom{4}{1} + \binom{13}{1}\binom{4}{1}\binom{12}{2}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$.
No soy muy bueno contando y sigo practicando, por eso pregunto si mi lógica es correcta para esto. Ya que tener un par es genial y me da una nueva perspectiva sobre cómo funcionan los problemas de conteo.
Respuestas
Lo que hizo fue un intento de contar el número de posibilidades para cada resultado.
La primera es correcta: elija tres rangos diferentes que no $8$y elija el traje para cada uno.
El segundo también es correcto: elija un rango que no sea $8$ para el segundo par, elija los palos de cada carta del segundo par y una tercera carta que tenga un rango diferente y su palo.
Para el tercero: elige otro $8$ (quedan dos para elegir), y luego dos rangos diferentes, cualquier palo: $2 \times {12 \choose 2} \times 4 \times 4$.
Finalmente, para obtener la probabilidad de cada uno, divide por el número total de formas en las que puedes elegir tres de los restantes$50$tarjetas sin restricciones. Esto es simplemente${50 \choose 3}$.
Un ejemplo más simple de por qué se divide es lanzar un número par en un dado de seis caras. Hay tres números pares entre$1$ y $6$, y hay un total de $6$posibles resultados. Entonces la probabilidad es$3/6 = 1/2$.