Problema de conteo: maletines

Question

Suponga que a usted y a un amigo se les presentan nueve maletines de aspecto idéntico, tres de los cuales tienen $ 100 mientras que el resto están vacíos. Ambos se turnan para elegir maletines (la primera persona elige 5 y la segunda elige 4), y solo al final se abren los maletines. He hecho de 1 a 4 partes de estas preguntas de HW pero no estoy seguro de cómo hacer la última:

1. Si va primero, ¿cuál es la probabilidad de que elija un maletín vacío en su primer turno?
2. Digamos que fue primero y eligió un maletín vacío. ¿Cuál es la probabilidad de que su amigo también elija un maletín vacío en su primer turno, dado que usted también eligió uno vacío en su primer turno?
3. Digamos que fue primero y eligió un maletín con 100 dólares. ¿Cuál es la probabilidad de que su amigo elija un maletín vacío en su primer turno, dado que también eligió uno con 100 dólares en su primer turno?
4. Si el juego terminara después de que cada persona tenga solo una oportunidad, demuestre que la probabilidad de que elija un maletín con 100 dólares es la misma, independientemente de si comienza o no.
5. Si el juego terminara una vez que se eligió cada maletín, ¿sería mejor comenzar o ir segundo?

EDITAR: El objetivo del juego es ganar la menor cantidad de dinero posible ya que 'apostar es malo'.

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Mi intento:

1. La respuesta es no. de formas en que puede elegir un maletín vacío dividido por el no. de formas en que puede elegir un maletín. Esto es 6C1 (ya que hay 6 maletines vacíos) dividido por 9C1 que es igual a 2/3.

2. Creo que la respuesta a esto es 2/3 (de la parte 1) multiplicado por 5C1 (ya que ahora quedan 5 maletines vacíos y el amigo elige uno de estos) dividido por 8C1 (ya que ahora solo quedan 8 casos restantes para elegir ). Esto es aprox. 0.4167.

3. Creo que esto es $ \ frac {3C1} {9C1} \ cdot \ frac {6C1} {8C1} $ ya que la primera persona debe elegir uno de los tres maletines de dinero de un total de 9, mientras que la segunda persona debe elegir uno de los 6 maletines vacíos de los 8 restantes. Esto es 0,25.

4. La forma en que pensé abordar esto fue considerando cuatro eventos diferentes, donde:

   • Evento A: Primero vas y obtienes 100 dólares, luego un amigo elige vacío.
   • Evento B: Primero vas y obtienes 100 dólares, luego un amigo también recibe 100 dólares.
   • Evento C: Tu amigo va primero y recibe 100 dólares, luego tú también recibes 100 dólares.
   • Evento D: Tu amigo va primero y elige vacío, luego obtienes 100 dólares.

   Por lo tanto, si va primero, la probabilidad de obtener 100 dólares es la probabilidad del evento A más la probabilidad del evento B. Si va en segundo lugar, es la probabilidad del evento C más la probabilidad del evento D. Ambas expresiones son $ \ frac {3C1 \ cdot 6C1} {9C1 \ cdot 8C1} + \ frac {3C1 \ cdot 2C1} {9C1 \ cdot 8C1} $ que es 1/3.

5. Esta parte me confunde sobre cómo abordar, ya que hay muchas secuencias diferentes posiblemente de elegir 6 maletín vacío y 3 con 100 dólares.

Cualquier consejo será muy apreciado.

Answer 1

Si va primero, la cantidad de maletas "monetarias" que obtiene sigue una distribución hipergeométrica , ya que sus cinco maletas se extraen sin reemplazo de una población de$3$ maletas de "dinero" y $6$ los vacíos.

$$P(X=k) = \begin{cases} \frac{\binom{3}{0} \binom{6}{5}}{\binom{9}{5}} = \frac{6}{\binom{9}{5}} & k=0 \\ \frac{\binom{3}{1} \binom{6}{4}}{\binom{9}{5}} = \frac{45}{\binom{9}{5}} & k = 1 \\ \frac{\binom{3}{2} \binom{6}{3}}{\binom{9}{5}} = \frac{60}{\binom{9}{5}} & k = 2 \\ \frac{\binom{3}{3} \binom{6}{2}}{\binom{9}{5}} = \frac{15}{\binom{9}{5}} & k = 3 \end{cases}$$

Si va en segundo lugar, las probabilidades correspondientes estarán en orden inverso. Puedes ver que el jugador que va primero tiende a sacar más maletas de dinero.

Answer 2

Tu respuesta en el n. ° 2 es incorrecta.

Digamos que fue primero y eligió un maletín vacío. ¿Cuál es la probabilidad de que su amigo también elija un maletín vacío en su primer turno, dado que usted también eligió uno vacío en su primer turno?

Debe asumir que ya fue primero y eligió un maletín vacío. Esto significa que quedan 8 maletines de los cuales solo 5 están vacíos.

La respuesta es

$$\frac{5}{8}.$$

Por la misma razón que la anterior, la respuesta al n. ° 3 es

$$\frac{6}{8}.$$

El número 4 es complicado y se puede atacar de dos formas diferentes.

El enfoque peatonal es que

• tu chance de maletín con dinero, si vas primero es $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$

• si va en segundo lugar, hay dos posibilidades: o su amigo eligió un maletín vacío y luego eligió uno con dinero, o su amigo eligió un maletín con dinero y luego también eligió uno con dinero.

  Las probabilidades combinadas aquí son $\left(\frac{6}{9} \times \frac{3}{8}\right) ~+~ \left(\frac{3}{9} \times \frac{2}{8}\right) ~=~ \frac{24}{72} = \frac{1}{3}.$

El análisis más elegante es razonar que elegir un maletín es matemáticamente equivalente a que se le entregue un maletín al azar. Si un moderador elige dos maletines al azar, uno para usted y otro para su amigo, la posibilidad de que su maletín contenga dinero no se ve afectada por si el moderador le entrega su maletín antes o después de que el moderador le entregue su maletín a su amigo.

Editar
lo malinterpreté

Si el juego terminara una vez que se eligió cada maletín, ¿sería mejor comenzar o ir segundo?

Si vas primero, te darán 5 maletines y tu amigo solo 4 maletines. Esto equivale a fingir que hay 10 maletines, en lugar de 9, y que el décimo maletín está obligado a estar vacío.

Por tanto, si vas primero, tendrás 5 maletines, cualquiera de los cuales puede tener dinero. Si va en segundo lugar, uno de sus maletines (el décimo maletín imaginario) se ve obligado a estar vacío.

Por lo tanto, la persona que va segundo puede esperar recibir menos dinero.