Problema verbal común de logaritmos

Question

Cada vez que un rayo de luz atraviesa una placa de vidrio, pierde $\frac{1}{10}$de su intensidad. ¿Cuántas piezas de placas de vidrio similares se necesitan para que la intensidad de la luz sea inferior a$\frac{1}{3}$ de su valor original?

Dejar $x$ser el valor de intensidad original del rayo de luz. Dejar$n$ sea ​​el número de placas de vidrio similares necesarias para que la intensidad de la luz sea inferior a $\frac{1}{3}$ de su valor original.

Así $x(\frac{1}{10})^n = (\frac{2}{3})x$

$(\frac{1}{10})^n = (\frac{2}{3})$

$log_{10} {10^-n} = log_{10} {2} – log_{10} {3}$

$n × log_{10} {10} = log_{10} {2} – log_{10} {3}$

Ya que $log_{10}{2} ≈ 0.3010$ y $log_{10}{3} ≈ 0.4771$, entonces

$n ≈ 0.3010 – 0.4771$

$n ≈ 0.3010 – 0.4771$

$n ≈ -0.1761$

Tengo una respuesta negativa para $n$. Aquí es donde me quedé atascado. Cualquier comentario y sugerencia será muy apreciado. Gracias de antemano.

Answer 1

El rayo pierde $\frac{1}{10}$de su intensidad. Esto significa que la intensidad del rayo después de que sale de la placa de vidrio es$\frac{9}{10}x$ (asumiendo que $x$ es la intensidad original).

Answer 2

La intensidad transmitida por una sola placa es $0.9$, y por $n$ platos es $0.9^n$. Si quieres el mas pequeño$n$ tal que este valor no sea mayor que $0.3333$,

$$0.9^n\le0.3333$$ entonces

$$n\log0.9\le \log0.3333$$

$$n=\left\lceil\frac{\log0.3333}{\log0.9}\right\rceil=11.$$

Cheque:

$$0.9^{10}=0.3487\cdots,\\0.9^{11}=0.3138\cdots$$

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Notas:

• La base del logaritmo no importa, ya que está tomando una razón.

• Como la razón no es cercana a un número entero, usando la aproximación $0.3333$ está bien.

Answer 3

Después de pasar por un vaso, la intensidad restante $= \frac{9x}{10}$ si la intensidad inicial es $x$.

Después de pasar por $n$ vasos, la intensidad restante $= (\frac{9}{10})^n \times x \lt \frac{x}{3}$

Answer 4

También puede usar un poco de cálculo básico: $$\frac{dx}{dn}=\frac{x}{10}$$ $$\Rightarrow \int_{x}^{\frac{x}{3}}\frac{1}{x}dx=-\int_{0}^{n}\frac{1}{10}dn$$ $$\Rightarrow \ln{\frac{1}{3}}=-\frac{n}{10}$$ $$\Rightarrow \ln{3}=\frac{n}{10}$$ $$\Rightarrow n≈10.981…$$

Como necesitamos $n$ ser un número natural, $\fbox{n≥11}$