Propiedad de la matriz positiva

Question

Dejar $A$ ser un $C^*$-algebra y deja $a = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{pmatrix} \in M_n(A)$ser una matriz positiva .

¿Es cierto que si $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{C}$, luego $$\begin{pmatrix}\overline{\lambda}_1 & \overline{\lambda}_2 & \dots & \overline{\lambda}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix}$$es un elemento positivo de$A$?

Intenté usar la caracterización $a= x^*x$ pero el cálculo se volvió bastante feo, así que me preguntaba si hay una manera conceptual fácil de ver esto.

Answer 1

Si $a$ es un elemento positivo de $M_n(A)$, entonces hay un $b \in M_n(A)$ con $a = b^*b$. Resulta que$$ \begin{pmatrix}\overline{\lambda}_1 & \overline{\lambda}_2 & \dots & \overline{\lambda}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix} = \left[b\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix} \right]^*\left[b\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix}\right]. $$ Ahora escribe $$ b \pmatrix{\lambda_1\\ \vdots \\ \lambda_n} = \pmatrix{c_1\\ \vdots \\ c_n} $$ para algunos $c_1,\dots,c_n \in A$. De lo anterior, tenemos$$ \begin{pmatrix}\overline{\lambda}_1 & \overline{\lambda}_2 & \dots & \overline{\lambda}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix} = \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n}^* \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n} = \sum_{i=1}^n c_i^*c_i. $$ Ahora, basta con notar que la suma de elementos positivos es positiva.