Prueba de continuidad con proyecciones

Question

Si $Y$ y $X_i$ son espacios topológicos y $\prod_{i\in I}X_i$ tiene la topología del producto, ¿cómo puedo probar la continuidad del mapa $f:Y\rightarrow \prod_{i\in I}X_i$ usando las proyecciones?

Esta pregunta está relacionada con un problema que publiqué aquí: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{\mathbb{R}}: x\mapsto (e^{t\sin(x)})_{ t\in \mathbb{R}}$

k.stm ha resuelto este problema utilizando la topología del producto. Mi problema es que no puedo ver la conexión entre las proyecciones y esta prueba.

Estoy publicando esto aquí como una pregunta general porque quiero investigar el enfoque general de tales problemas.

Answer 1

Dada una familia $X$ de conjuntos indexados por $I$ y una familia $\mathscr{T} \in \displaystyle\prod_{i \in I}\mathscr{Top}(X_i)$ de topologías en cada uno de los conjuntos $X_i$, denotemos por $\displaystyle\bigotimes_{i \in I}\mathscr{T}_i$ la topología del producto directo sobre el producto cartesiano $\displaystyle\prod_{i \in I}X_i$. Si$p_i \colon \displaystyle\prod_{i \in I}X_i \to X_i$ denota la proyección canónica, luego se sigue directamente de la definición que dado un espacio topológico arbitrario $(Y, \mathscr{S})$ y un mapa $f \colon Y \to \displaystyle\prod_{i \in I}X_i$ tenemos la equivalencia: $$f \in \mathrm{Hom}_{\mathbf{Top}}\left((Y, \mathscr{S}), \left(\displaystyle\prod_{i \in I}X_i, \displaystyle\bigotimes_{i \in I}\mathscr{T}_i\right)\right) \Leftrightarrow (\forall i)\left(i \in I \Rightarrow p_i \circ f \in \mathrm{Hom}_{\mathbf{Top}}((Y, \mathscr{S}), (X_i, \mathscr{T}_i))\right),$$ que es una forma muy rígida y formal de decir que $f$ es continuo si y solo si todas las composiciones $p_i \circ f$ son continuos para cada $i \in I$.

En la terminología de la que Bourbaki es adepto, la topología del producto directo es la estructura inicial inducida por la familia de espacios.$\left(X_i, \mathscr{T}_i\right)_{i \in I}$ en el producto cartesiano $\displaystyle\prod_{i \in I}X_i$ a través de la familia de proyecciones canónicas.