Prueba de límite de cadena de Markov

Question

Primero, perdón por mi mal inglés. Estoy teniendo problemas para probar este ejercicio (provino de algunas notas que tenía en la universidad, estoy estudiando para mi maestría el próximo año).

Dejar $X$ ser una cadena de Markov aperiódica irreducible en el espacio de estados finitos $S$. Dejar$\pi$ser medida estacionaria. Asumir$X$ Empezó a las $\pi$. Dejar$a,b \in S$. Muestra esa:

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(X_0=a, X_n=b) = \pi(a)\pi(b)$

Probé muchas cosas, incluidos los acoplamientos, pero no puedo resolverlo. Cualquier consejo y ayuda sería genial. ¡Gracias!

Answer 1

¿No puedes simplemente escribir? \begin{align} \mathbb P(X_0 = a, X_n = b) &= P(X_0 = a) P(X_n = b \vert X_0 = a) \\ &= \pi(a) P^n_a(b), \end{align} dónde $P^n_a$ es el $n$-paso núcleo de la cadena de Markov comenzó en $a$, y asumes que $X_0$ se extrae de $\pi$. Por irreductibilidad y aperiodicidad, este kernel converge a la medida estacionaria en el límite, por lo que se obtiene$$ \lim_{n \rightarrow \infty} P^n_a(b) = \pi(b),$$y el resultado sigue. ¿Qué me estoy perdiendo?