Prueba para una función continua

Question

Dejar $f$ ser una función definida en $[0, 6]$, continuo en $[0, 6]$ y está provisto de una tercera derivada en $]0, 6[.$¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa ?

$$\fbox{A}\quad f \text{ has no asymptotes; }$$ $$\fbox{B}\quad f \text{ may have no critical points; }$$ $$\fbox{C}\quad f \text{ has a relative maximum or has a minimum relative; }$$ $$\fbox{D}\quad f'' \text{ is continuous in } ]0; 6[;$$ $$\fbox{E}\quad \text{If } f'(5) = f''(5) = 0 \text{ and } f'''(5) = 7, \text{then } f \text{ has an inflection point with a horizontal tangent at } x = 5$$

A continuación se muestra la pregunta original en idioma italiano. Arriba está la traducción.

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Mi intento de resolución para encontrar la respuesta correcta. los$\fbox{A}$ es verdadero ser $f$ es continuo en $[0,6]$. los$\fbox{B}$ es cierto para el teorema de Weierstrass: observe que $[0,6]$está cerrado. Si pienso en el polinomio$\deg(p(x))=6$ y $\fbox{C}$para mi es verdad. Para el$\fbox{D}$ He pensado que si $f$ y está provisto de una tercera derivada en $]0,6[$, casi por $f''$ es continuo en $]0,6[$. Yo diría el$\fbox{E}$es falso , pero no puedo justificarlo.

Pregunto si mi razonamiento es correcto o si hay incongruencias.

Answer 1

Para mí, C es falso si se entiende como un extremo relativo (o extremo local) un extremo en una vecindad de un punto en el interior de$[0,6]$. De hecho, aquí hay un contraejemplo que satisface todas las hipótesis, que no tiene ni un máximo local ni un mínimo local en$[0,6]$, aunque tiene un máximo y un mínimo: $$f(x)=\frac 76(x-5)^3.$$

Por otro lado, E es verdadera, porque si $f'''(5)=7$, es positivo en un pequeño barrio de $5$decir $I=(5-ε, 5+ε)$ (los derivados satisfacen la propiedad del valor intermedio), de modo que $f''$está aumentando en este intervalo. Por tanto, si$f''(5)=0$, tenemos $f''(x)<0$ en $(5-ε,5)$ y $f''(x)>0$ en $(5, 5+ε)$, así que eso $f'$ tiene un mínimo local en $I$, que corresponde a la definición de un punto de inflexión.