Prueba previa de probabilidad e hipótesis

Question

Recientemente me encontré con el artículo Errores estadísticos , escrito por Regina Nuzzo (Nature, febrero de 2014). Espero que esté bien incluir la imagen publicada en ese artículo, ya que mi pregunta está directamente vinculada a ella:

Me preguntaba de dónde vienen esos valores. Decir$H_1$es la hipótesis de que no es un efecto real;$H_0$significa que no hay efecto. Digamos$P(\mathrm{eff})$es la probabilidad de que exista un efecto. Más lejos,$P(H_1)$ es la probabilidad de que la prueba rechace la hipótesis nula y $P(H_0)$ la probabilidad de aceptar la hipótesis nula.

Para el ejemplo más a la izquierda, ahora asignaría las siguientes probabilidades:

• $P(\mathrm{eff})=0.05$ y $P(\overline{\mathrm{eff}})=0.95$
• $P(H_1\mid\overline{\mathrm{eff}})\leq0.05$
• $P(\mathrm{eff}\mid H_1)=0.11$ y $P(\overline{\mathrm{eff}}\mid H_1=0.89$

Ahora, con el teorema de Bayes, podría concluir $$ P(\mathrm{eff}\mid H_1) = \frac{P(H_1\mid\overline{\mathrm{eff}})\cdot P(\overline{\mathrm{eff}})}{P(H_1)} $$ pero $P(H_1)$es desconocido. Ahora pensé que podría usar la ley de probabilidad total:$$ P(H_1) = P(H_1\mid\mathrm{eff})\cdot P(\mathrm{eff}) + P(H_1\mid\overline{\mathrm{eff}})\cdot P(\overline{\mathrm{eff}})$$ Sin embargo, en este caso, hay $P(H_1\mid\mathrm{eff})$eso no lo se. Por lo tanto, la serpiente de alguna manera se muerde la cola.

¿Cómo puedo encontrar la información que falta? ¿O qué estoy haciendo mal?

Answer 1

No es obvio lo que se ha hecho en ese cuadro, pero los números pueden ser consistentes con $P(\text{report low }p\mid H_1)$ acerca de $0.12$ al usar el $p<0.05$ prueba y sobre $0.08$ al usar el $p<0.01$ prueba (una prueba con menos falsos positivos también puede llevar a menos verdaderos positivos, por lo que esto tiene algún tipo de sentido), además de redondear a dos lugares decimales.

En detalle, la aritmética para $$P(H_1\mid \text{report low }p) = \dfrac{P(\text{report low }p\mid H_1)P(H_1)}{P(\text{report low }p) } \\ =\dfrac{P(\text{report low }p\mid H_1)P(H_1)}{P(\text{report low }p\mid H_1)P(H_1)+P(\text{report low }p\mid H_0)P(H_0) }$$ parece haber sido algo como:

• $\dfrac{0.05 \times 0.12}{0.05 \times 0.12 + 0.95\times 0.05 } \approx 0.112$
• $\dfrac{0.05 \times 0.08}{0.05 \times 0.08 + 0.95\times 0.01 } \approx 0.296$
• $\dfrac{0.50 \times 0.12}{0.50 \times 0.12 + 0.50\times 0.05 } \approx 0.706$
• $\dfrac{0.50 \times 0.08}{0.50 \times 0.08 + 0.50\times 0.01 } \approx 0.889$
• $\dfrac{0.90 \times 0.12}{0.90 \times 0.12 + 0.10\times 0.05 } \approx 0.956$
• $\dfrac{0.90 \times 0.08}{0.90 \times 0.08 + 0.10\times 0.01 } \approx 0.986$