Pruebas de existencia y singularidad
Estoy tratando de probar el siguiente teorema (y por favor, no me des una prueba, esta es una pregunta conceptual):
(Teorema de representación de Negoita y Ralescu) Sea$A_{\alpha}$, $\alpha \in [0,1]$, una familia de subconjuntos nítidos de $U$ de modo que lo siguiente sea cierto:
$\displaystyle \bigcup_{\alpha \in [0,1]} A_{\alpha} \subset A_{0}$;
$A_{\alpha} \subset A_{\beta}$ Si $\beta \leq \alpha$
$\displaystyle A_{\alpha} = \bigcap_{k \geq 0} A_{\alpha_{k}}$ se $\alpha_{k}$ convergir para $\alpha$ com $\alpha_{k} \leq \alpha$, para todo $k \geq 0$.
En estas condiciones, existe uno, y solo uno, conjunto difuso $A$ en $U$ en la que $$A_{\alpha} = [A]^{\alpha}.$$
Este teorema es solo para contextualizar mi pregunta. Entonces, siempre he luchado con la prueba de este tipo de declaraciones. La parte de la unicidad es bastante sencilla, simplemente asuma que tales condiciones crean dos cosas (conjuntos, grupos, etc.) y luego demuestre que esas dos cosas son realmente iguales. Hecho, tan simple como eso.
La parte de la existencia que siempre me ha hecho "tartamudear", porque en matemáticas cuando quieres que algo exista simplemente dices que existe y luego derivas los otros resultados (solo estoy simplificando demasiado jajaja). Pero cuando uno de los resultados es una existencia en sí misma, parece que no puedo encontrar la manera de mostrarlo. Y esto realmente compromete mi confianza como aspirante a matemático.
Entonces, al grano, ¿cuáles son los dispositivos lógicos que puedo usar para ese tipo de problemas? (esa es la pregunta más importante).
Y si muestro eso $[A]^{\alpha}$ satisface el $A_{\alpha}$ propiedades, estoy mostrando que existe un conjunto difuso $A$ (porque $[A]^{\alpha}$ deriva de $A$), ¿o solo estoy mostrando lo obvio de que esas dos familias solo comparten esas 3 propiedades?
Respuestas
Una forma de mostrar la existencia es mediante la construcción . Por ejemplo, es posible que desee mostrar que para cualquier triple$(a, b, c)$ de enteros con $$ 0 \le a < 2\\ 0 \le b < 3\\ 0 \le c < 5 $$ hay un entero $n$ con $$ n \bmod 2 = a\\ n \bmod 3 = b \\ n \bmod 5 = c. $$ Es posible que, con un poco de trabajo, pueda decir algo como "Deja $$ n = (2 \cdot 3 + c) + (3 \cdot 5 + a) + (2 \cdot 5 + b)" $$ y luego muestra eso $n$tiene las tres propiedades requeridas. (Esta fórmula particular para$n$ no funciona en absoluto, por supuesto, pero no puedo recordar lo suficiente del teorema del resto chino para recordar cómo construir tal cosa).
Alternativamente, a veces la inyectividad / sobrejetividad puede ayudar. Por ejemplo, puede observar que si$k$ y $p$ son relativamente primos, entonces para cualquier $s$, las parejas $$ (s \bmod k, s \bmod p)\\ (s+1 \bmod k, s+1 \bmod p)\\ \ldots\\ (s+pk-1 \bmod k,s+ bk-1 \bmod p) $$son todos distintos. Que te deja decir que hay un numero$s$ Entre $0$ y $2\cdot 3 - 1$ cuyos restos mod $2$ y mod $3$ son $a$ y $b$(por el principio del casillero). Y además, agregando$6$ a $s$ no cambia sus restos, por lo que entre los números $$ s + 0 s + 1\cdot 6 \\ \ldots\\ s + 5 \cdot 6) $$ que tienen todos los mismos residuos mod 2 y mod 3, los residuos mod 5 son todos números distintos (por el mismo pequeño teorema), por lo que tiene cinco números distintos entre 0 y 4, por lo tanto, cada uno (por el principio de casillero) debe aparecer en al menos uno, por lo que uno de ellos es $c$.
En este caso, la existencia se muestra indirectamente (a través de un casillero) en lugar de constructivamente.