pruebas de secuencia recursiva

Question

Soy un poco nuevo en las secuencias recursivas y estoy luchando con un ejercicio. Pido disculpas de antemano por la larga pregunta y mi falta de conocimiento sobre cómo abordar estos problemas.

Dejar $x_n$ ser definido de tal manera que $x_1 = 1$, $x_{n+1} = \frac{x_n^2+1}5$

Y hay 4 cosas que tengo que demostrar / mostrar,

(1) Demuestre que $x_n$ $\leq$ $1$ para todos $n$.

¿No estoy seguro de poder probar esto directamente o por inducción? ¿Qué sería lo mejor para esto? No sé cómo abordar esto cuando se define de forma recursiva.

(2) Demuestre que $\lvert x_{n+1} - x_n \rvert$ $\leq (\frac{2}{5})^{n-1}$

No estoy seguro, pero podría usar $\lvert\frac{x_{n+1}^2+1}{5}$ $-$ $\frac{x_n^2+1}{5}\rvert$$\ leq (\ frac {2} {5}) ^ {n-1} $ y luego intenta resolver esto. ¿Cómo trato con los $ x_n $ ?

(3) Muestre que $ x_n $ es una secuencia de Cauchy.

Sé que una secuencia de Cauchy se define como: Para cada número real positivo $ \ varepsilon $ , hay un entero positivo $ N $ tal que para todos los números naturales $ m, n \ gt N $ : $ \ lvert x_m - x_n \ rvert \ lt \ varepsilon $ . ¿Puedo aplicar esta definición directamente en esta secuencia y continuar desde allí?

(4) Calcule el límite de $ x_n $ .

Esto debería ser sencillo si no fuera una secuencia definida de forma recursiva.

Sin embargo, si calculo los primeros elementos de la secuencia que obtengo:

$ x_1 = 1 $ , $ x_2 = \ frac {2} {5} $ , $ x_3 = \ frac {29} {125} $ , $ x_4 = \ frac {841} {15625} $ $ \ ldots $

Esto se acerca a $ 0 $ (supongo) ya que el segundo término es menor que $ 1 $ . Y dado que un cuadrado de un número menor que $ 1 $ es siempre más pequeño que el número original, $ \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} $ $ = 0 $ .

¿Cómo puedo probar esto correctamente sin simplemente probar números diferentes?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

1. Ya que $x_1 \leq 1$, solo tenemos que demostrar que, si $x_n \leq 1$, luego $x_{n+1}\leq 1$. Esto es sencillo porque tenemos eso$x_{n+1} = \dfrac{x_n^2+1}{5}\leq \frac 25 \leq 1$. Además, considerando que$x_n >0$, hemos establecido que $0 < x_n \leq 1, \forall_n$.

2. $$|x_{n+1} - x_n| = \left| \frac{x_n^2+1}{5} - \frac{x_{n-1}^2+1}{5} \right|=\left| \frac{(x_n-x_{n-1})(x_n+x_{n-1})}{5}\right| \leq \frac 25 |x_n -x_{n-1}|$$ Usando esta desigualdad de forma recursiva, uno puede darse cuenta de que $$|x_{n+1}-x_n|\leq (2/5)^{n-1}|x_2-x_1| \leq (2/5)^{n-1}.$$

3. La secuencia es Cauchy si, para cada $\varepsilon >0$, hay algo de orden $p$ tal que $|x_n-x_m| < \varepsilon$ para todos $n \ge m \ge p$. Ahora,\begin{align*} |x_n-x_m|=&|x_n - x_{n-1}+x_{n-1} -x_{n-2}+x_{n-2} + \cdots -x_m|\\ \leq & |x_n-x_{n-1}| + |x_{n-1}-x_{n-2}| + \cdots +|x_{m+1}-x_m|\\ \leq & (2/5)^{n-1} + (2/5)^{n-2} + \cdots +(2/5)^{m-1}\\ =& \dfrac{1-(2/5)^n}{1-\frac 25}\times (2/5)^m = \frac 53 (1-(2/5)^n) (2/5)^m \leq \frac 53 (2/5)^m \end{align*} así que solo eliges $p$ de una manera que $\frac 53 (2/5)^p < \varepsilon$.

4. Si el límite existe, y sabemos que existe porque las secuencias de Cauchy en $\mathbb{R}$ son convergentes, tienes eso $$ x_{n+1} = \frac{x_n^2+1}{5} \Rightarrow L=\frac{L^2+1}{5} $$ y entonces $L = \frac{1}{2} \left(5\pm \sqrt{21}\right)$. Sabiendo que$L \in [0,1]$, debemos elegir el signo "-" y concluir que $L=\frac{1}{2} \left(5-\sqrt{21}\right)$.