Pseudoinverso de un estado cuántico

Question

La entropía relativa máxima entre dos estados se define como $D_{\max}(\rho\|\sigma) = \log\lambda$, dónde $\lambda$ es el número real más pequeño que satisface $\rho\leq \lambda\sigma$, dónde $A\leq B$ se usa para denotar que $B-A$ es semidefinito positivo.

Una forma alternativa de expresar la máxima entropía relativa es

$$D_{\max}(\rho\|\sigma) = \|\sigma^{-1/2}\rho\sigma^{-1/2}\|_{\infty},$$

dónde $\|\cdot\|_\infty$es la norma del operador que esencialmente selecciona el valor propio más grande. Veo que la idea esencial es

\begin{align} \rho &\leq \lambda\sigma \\ \sigma^{-1/2}\rho\sigma^{-1/2}&\leq \lambda I \end{align}

Elegir lo más pequeño posible $\lambda$ resulta en igualdad y por lo tanto uno se recupera $D_{\max}(\rho\|\sigma)$ Por aquí.

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lo asumo $\sigma^{-1}$ aquí se obtiene por

1. Diagonalizar $\sigma$
2. Tomando el recíproco de todos los valores propios distintos de cero y dejando los valores propios cero como son
3. Sin diagonalizar $\sigma$ de nuevo.

Sin embargo, esto no tiene sentido porque para mí porque cuando el apoyo de $\rho$ es más grande que el apoyo de $\sigma$, $D_{\max}(\rho\|\sigma) = \infty$. Sin embargo, parece$\|\sigma^{-1/2}\rho\sigma^{1/2}\|_\infty$ nunca puede ser infinito.

Entonces, ¿cómo se obtiene uno $\sigma^{-1}$?

Answer 1

Hay un problema en la derivación que presentó, ya que $\rho \leq \lambda \sigma$ es solo equivalente a $\sigma^{-1/2} \rho \sigma^{-1/2} \leq \lambda I$ Cuándo $\sigma$ es invertible (o al menos cuando $\mathrm{supp}(\rho) \subset \mathrm{supp}(\sigma)$, para que pueda restringir el espacio a $\mathrm{supp}(\sigma)$en lugar de todo el espacio de Hilbert). De lo contrario, la propiedad no es verdadera: considere, por ejemplo,$|+\rangle\langle+| \leq \lambda |0\rangle\langle 0|$ como contraejemplo.

Con todo, solo cuando la condición $\mathrm{supp}(\rho) \subset \mathrm{supp}(\sigma)$ está satisfecho podemos concluir que $D_{\max}(\rho \| \sigma) = \log \| \sigma^{-1/2} \rho \sigma^{-1/2} \|_\infty$.