¿Qué es la serie de poder formal intuitivamente?

Question

Leí un artículo de Wikipedia sobre series formales de poder, pero no me hago una idea intuitiva ... Tenía varias dudas sobre este tema

1) Por qué necesitamos series de poder formales

2) Las series de potencias formales no dan ningún significado a la convergencia, entonces ¿por qué usamos una entidad matemática divergente?

3) Leo series de potencias formales como un conjunto de coeficientes, ¿no entiendo lo que significa?

4) ¿Podemos representar una función convergente ($1+x$) por una serie de potencias formales?

5) ¿Podemos representar una función con un polo ($1\over{1+x}$) para $x>>1\&x<<1$ por una serie de poder formal?

Ayúdame a tener una idea intuitiva en lugar de algunas fórmulas matemáticas

Answer 1

Extiende el concepto de polinomio a una infinidad de términos. Y no tiene nada que ver con la convergencia o la divergencia, ya que no es una suma de funciones. Estás confundiendo series de potencias formales y funciones definidas por series de potencias. Las series de potencias formales se definen para cualquier anillo conmutativo de coeficientes.

Answer 2

De hecho, una serie de potencias formales equivale formalmente a una secuencia de números.

$$a_0,a_1,a_2,\cdots\leftrightarrow a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$$

porque fácilmente conviertes uno en otro.

Son útiles en eso

• coinciden con toda una serie donde este último converge,

• son compatibles con las lógicas para sumar o multiplicar polinomios y series completas (suma y convolución de términos),

• pueden transmitir funciones generadoras no convergentes y dibujar propiedades combinatorias.

Answer 3

Una aplicación de la generación de funciones es resolver problemas de conteo como con Rook Polynomials . En esta configuración, los coeficientes contarán como una ligera variante del problema general y, a menudo, hay infinitos. Esto es útil porque a menudo podemos calcular los coeficientes de forma aislada sin tener que calcular los otros términos para resolver estos problemas.