¿Qué significa realmente rigidez?

Question

Recientemente me presentaron la siguiente definición de rigidez.

Una secuencia de variables aleatorias se llama estrecha si por alguna $\epsilon >0$ Ahi esta $R>0$ tal que para cualquier $i$, $$P(X_i\in[-R;R])>1-\epsilon.$$

Tengo problemas para entender lo que realmente significa gráficamente y también he intentado expresarlo de otra manera.

Lo que he entendido es que la probabilidad de que la secuencia tome valor en el intervalo $[-R;R]$ ...

y no entiendo el $1-\epsilon$parte. ¿Por qué la probabilidad tiene que ser mayor que$1-\epsilon$? ¿Es lo mismo si decimos que es más pequeño que$\epsilon$? ¿Hay alguna forma de redactar la definición de una manera en la que no haya notaciones para que pueda entenderla mejor?

Answer 1

¿Sabes de cuantificadores? La clave en esta definición es su orden. Tenemos$$ \forall \epsilon > 0( \exists R > 0 ( \forall i \ P(X_i \in [-R, R]) > 1 - \epsilon)) $$En otras palabras, siempre podemos elegir un intervalo lo suficientemente grande como para que todos los$X_i$ tienen tantas probabilidades de estar dentro de él como queramos.

Es en este sentido que la $X_i$son "apretados". Intuitivamente, puede pensar que dice que el$X_i$ no se extienda demasiado rápido con $i$.

Apéndice

¿Cómo podría una secuencia de variables aleatorias dejar de ser ajustada? Tomar$X_n$ con $P(a \leq X_n \leq b) = \int_a^b C_n e^{-\frac{x^2}{2n^2}} dx$ donde el $C_n$ son constantes elegidas para que $P(X_n \in \mathbb{R}) = 1$. Entonces, para cualquier$R \in \mathbb{R}$ siempre existe $k$ (sólo toma $k > R$) tal que $P(X_k \in [-R , R]) < .7$. Esto muestra que el$X_n$no están apretados. Aproximadamente, esto sucedió porque$\sigma_{X_n} = n$. los$X_n$ se están extendiendo con $n$.