Rango Cantor-Bendixson de tipo aislado

Question

Este es el lema 2.2.3 (i) del libro Teoría esencial de la estabilidad de S.Buechler . Dejar$T$sea ​​una teoría completa. Definimos el rango de Cantor-Bendixson de una fórmula$\phi$ en $n$ variables de la siguiente manera.

1. $CB(\phi)=-1$ Si $\phi$ es inconsistente;
2. Dejar $\alpha$ ser un ordinal, y $\Psi_{\alpha}= \{\psi: CB(\psi)=\beta \mbox{ for some } \beta < \alpha \}$. $CB(\phi)=\alpha$ Si $\{p\in S_n(\emptyset) : \phi \in p \mbox{ and } \neg \psi \in p \mbox{ for all } \psi \in \Psi_{\alpha} \}$ no está vacío y es finito.

Dejar $p$ ser un completo aislado $n$-tipo. Entonces sabemos que$p$ está aislado por la fórmula $\phi'$de la definición de aislamiento. Mi pregunta es

Por qué $CB(\phi')=0$ ?

Parece que tenemos que demostrar que solo hay un número finito de tipos $p \in S_n(\emptyset)$ cual $\phi' \in p$ y $\neg \psi \in p$ para todos $\psi \in \Psi_0$. Pero no tengo ni idea de cómo probarlo. Cualquier sugerencia y sugerencia es bienvenida. ¡Gracias!

Answer 1

Primero probemos esto directamente de las definiciones que mencionas. Las fórmulas en$\Psi_0$son exactamente las fórmulas inconsistentes. Entonces para cualquier tipo$q$ y cualquier $\psi \in \Psi_0$ tenemos $\neg \psi \in q$. Eso significa que$$ \{q \in S_n(\emptyset) : \phi' \in q \text{ and } \neg \psi \in q \text{ for all } \psi \in \Psi_0\} = \{q \in S_n(\emptyset) : \phi' \in q\} = \{p\}, $$ donde sigue la última igualdad porque $\phi'$ aislados $p$. Así que de hecho$CB(\phi') = 0$.

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El rango de Cantor-Bendixson también se define a menudo de forma topológica de la siguiente manera. Para obtener referencias, consulte, por ejemplo, Un curso de teoría de modelos por Tent y Ziegler, ejercicio 6.2.6, o Teoría de modelos: una introducción por marcador, ejercicio 6.6.19g (aunque hay un error tipográfico, que debería quedar claro a partir de la definición siguiente) .

Para un espacio topológico $X$ definimos $X^{(\alpha)}$ para ordinales $\alpha$ como sigue:

1. $X^{(0)} = X$,
2. $X^{(\alpha+1)} = X^{(\alpha)} - \{x \in X^{(\alpha)} : x \text{ is an isolated point in } X^{(\alpha)}\}$,
3. $X^{(\lambda)} = \bigcap_{\alpha < \lambda} X^{(\alpha)}$ por limite $\lambda$.

Nosotros llamamos $X^{(\alpha)}$ la $\alpha$-th derivada de Cantor-Bendixson de$X$. Por un punto$x \in X$el rango de Cantor-Bendixson $CB(x)$ es entonces el máximo $\alpha$ tal que $x \in X^{(\alpha)}$.

Aplicando esto a $X = S_n(\emptyset)$ podemos dar sentido a Cantor-Bendixson para una fórmula $\phi$ configurando $$ CB(\phi) = \sup \{CB(p) : \phi \in p \in S_n(\emptyset)\}. $$Sería un buen ejercicio mostrar que estas definiciones son equivalentes (aunque sería un ejercicio más difícil de lo que preguntaste). Con estas definiciones también se seguiría fácilmente que$CB(\phi') = 0$ Si $\phi'$ aísla un tipo.