Realización del grupo metacíclico de orden 21
Me gustaría entender los grupos no abelianos de orden.$pq$(con$q | p-1$) mejor. Para$q=2$este es el grupo diédrico con el que me siento cómodo.
Para cada$pq$Sé que hay exactamente uno de estos grupos. Es un producto semidirecto. Su estructura de Sylow es$n_q = p$y$n_p = 1$. No sé mucho sobre ellos.
Calculé las siguientes órdenes de grupos interesantes 21, 39, 55, 57, 93. Y preguntaré sobre 21.
¿Cuál es la simetría del grupo no abeliano de orden 21?
He estado investigando esto y no encontré una buena respuesta. No creo que sea la simetría de las rotaciones de un poliedro o cualquier rompecabezas retorcido. He visto que el plano fano tiene 7 lineas y 3 puntos en cada linea pero no se si se puede usar. ¿Están estos grupos actuando de forma natural sobre un código de diseño de algún tipo? ¿O hay una mejor manera de entenderlos a un nivel más profundo? ¡Gracias!
Respuestas
Sobre cada campo$F$hay un grupo de transformaciones afines
$$x \mapsto ax + b, a \in F^{\times}, b \in F$$
actuando en la línea afín$\mathbb{A}^1(F)$(que como conjunto es solo$F$). Equivalentemente, este es un grupo de$2 \times 2$matrices
$$\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \right].$$
Sobre un campo finito$F = \mathbb{F}_q$obtenemos una familia de nonabelian (excepto cuando$q = 2$) grupos de orden$q(q - 1)$que son productos semidirectos construidos a partir de la acción de$\mathbb{F}_q^{\times}$en$\mathbb{F}_q$por multiplicación Además, podemos considerar subgrupos de este grupo restringiendo$a$a un subgrupo de$F^{\times}$. Todos los grupos que le interesen se pueden construir de esta manera.
El grupo específico que le interesa aparece cuando$q = 7$y$a$está restringido a estar en el subgrupo$(\mathbb{F}_7^{\times})^2$de elementos cuadrados de$\mathbb{F}_7^{\times}$. Es un grupo de Frobenius y según esa página también actúa en el plano de Fano.