Reconstrucciones de grupos de la categoría de $G-\mathbf{Sets}$; Construcción de un homomorfismo grupal [duplicado]

Question

Intento presentar una prueba de la siguiente afirmación, pero me resulta un poco difícil. Espero poder obtener ayuda de alguien en este sitio. Creo que esto es lo que dan una prueba, en Ncatlab - Tannakian Duality (en la sección$G-\mathbf{Sets}$). Pero realmente no puedo seguir esa prueba:https://ncatlab.org/nlab/show/Tannaka+duality#ForPermutationRepresentations.

Declaración. Dejar$F:G-\mathbf{Sets}\to\mathbf{Sets}$ ser el functor olvidadizo, donde $G-\mathbf{Sets}$ es la categoría de conjuntos equipados con una acción grupal por el grupo $G$. Estoy tratando de entender la prueba del siguiente hecho$$\operatorname{Aut}(F)\cong G.$$

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Que he hecho

He logrado construir un mapa $$\varphi:G\to\operatorname{Aut}(F)$$ Esto se hizo mediante la siguiente regla $\varphi(g)=\eta^g$, dónde $\eta_S^g:S\to S$ es definido por $\eta_S^g(s)=s\cdot g$. Es sencillo comprobar que esto da una transformación natural de$F$ a $F$ y que también es un homomorfismo de grupo.

Sin embargo , la otra forma es más problemática para mí. Quiero encontrar un mapa$$\psi:\operatorname{Aut}(F)\to G.$$ Es decir, dada una transformación natural $\eta$, Quiero asignarlo a un elemento de grupo $g\in G$.

La transformación natural $\eta$ está definido por el siguiente diagrama conmutativo $\require{AMScd}$ $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} F(X) & \ra{\eta_X} & F(X) \\ \da{F(f)} & & \da{F(f)} \\ F(Y) & \ra{\eta_Y} & F(Y) & \\ \end{array} $$ dónde $\eta_X$ es un morfismo en $\mathbf{Sets}$ y $f:X \to Y$ es un morfismo en la categoría $G-\mathbf{Sets}$. Ya que$F$ es solo el functor olvidadizo, el diagrama anterior se reduce a $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} X & \ra{\eta_X} & X \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

Preocupaciones y preguntas

En la definición de transformación natural, tengo eso, dado cualquier $G-\text{Set}$ $X$, $\eta_X:F(X)\to F(X)$es un morfismo. Natural$G-\text{Set}$ es simplemente tomar $X=G$ y dejar que actúe sobre sí mismo a través de la estructura del grupo: $$\varphi: G\times G\to G \\ (g,s)\mapsto g\cdot s.$$ Entonces el diagrama conmutativo ahora se convierte en $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} G & \ra{\eta_G} & G \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

Comentario 1. Recuerdo que un profesor me dijo que el morfismo$\eta_G$ se entiende totalmente por lo que le hace al elemento de identidad $e\in G$ (de donde debería poder entender cómo construir el homomorfismo grupal), $$e\mapsto \eta_G(e).$$

Realmente no entiendo lo que significa lo anterior. Creo que he entendido mal algo sobre el functor olvidadizo. Cuando pienso en el functor olvidadizo$F:A\to B$, Creo que el functor olvida todo lo que está presente en $A$, pero no está presente en $B$. En nuestro caso, olvida la estructura de las acciones grupales. Y as, en particular, no puedo usar la propiedad de ser un$G$-mapa equivariante. Solo las propiedades de ser un mapa de teoría de conjuntos.

Pregunta 1.

Si $\eta_G(e)=s$, y si quisiera entender lo que me dijo el profesor, creo que razonaría algo de la siguiente manera $$\eta_G(g)=\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)=s\eta_G(g).$$donde yo en la segunda igualdad usé la propiedad de ser un homomorfismo grupal. Pero, por otro lado, si quiero tratarlo como un homomorfismo grupal, creo que tenía que hacerlo para empezar. Es decir,$\eta_G$debo asignar identidades a identidades (para ser consistente en mi razonamiento). Entonces creo que mi argumento falla.

Mi pregunta es: ¿Qué quiere decir?

No creo que lo que hice arriba tenga sentido. Pero creo que he visto a otros usar las propiedades de los morfismos en la categoría$A$, después de haber aplicado el functor olvidadizo, de ahí mi razonamiento. Una vez más, no estoy muy seguro de lo que estoy haciendo. Así que bien puedo estar equivocado.

Pregunta 2. ¿Cómo me dice esto dónde trazar un mapa de una transformación natural?

Dado un $\eta\in\operatorname{Aut}(F)$, ¿dónde lo mapeo? ¿Lo mapeo de la siguiente manera?$$\eta\mapsto \eta_G(e)?$$ Al hacerlo, ¿sé que he dicho exhaustivamente dónde mapear cada transformación natural?

Pregunta 3. Supongo que también, de alguna manera, tengo que usar el diagrama conmutativo en la definición de la transformación natural cuando construyo el homomorfismo de grupo, ¿lo cual no he hecho? Supongo que mi sugerencia anterior no es la forma correcta de hacerlo. ¿Tiene alguna idea de cómo puedo construir el mapa?

Me alegraría mucho poder tener la ayuda de alguien en este sitio para entender esto mejor. Porque estoy realmente perdido y confundido.

Los mejores deseos,

Joel

Answer 1

Voy a usar izquierda $G$-conjuntos, no bien.

Pregunta 1 y 3 .

No puedes escribir $\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)$, no estamos asumiendo $\eta_G:G\to G$ es un homomorfismo de grupo, solo que es un morfismo de $G$-conjuntos. Puedes decir eso$\eta_G(g\cdot e)=g\cdot\eta_G(e)$ aunque (que invertiría el orden si insiste en las acciones grupales correctas).

Considere su diagrama conmutativo nuevamente:

$$\require{AMScd} \begin{CD} G @>{\eta_G}>> G \\ @VVV @VVV \\ Y @>{\eta_Y}>> Y \end{CD}$$

Aquí, podemos dejar que el mapa $G\to Y$ ser la evaluación en$y$ mapa $g\mapsto gy$ dónde $y\in Y$ es fijo (tenga en cuenta que el mapa de evaluación también es útil para establecer el teorema del estabilizador de órbita: sus fibras son clases laterales de $y$estabilizador). Luego perseguimos el diagrama a partir de$e\in G$ en la parte superior izquierda.

Si seguimos el camino superior derecho, obtenemos $e\mapsto \eta_G(e)\mapsto \eta_G(e)y$. En el camino de abajo a la izquierda,$e\mapsto y\mapsto \eta_Y(y)$. Por lo tanto, podemos equiparar$\eta_Y(g):=\eta_G(e)y$. Es decir, todo automorfismo$\eta$ aplicado a un $G$-conjunto $Y$ es solo aplicar un elemento de grupo en particular $\eta_G(e)\in G$.

Quseción 3 .

Si, $\eta\mapsto \eta_G(e)$. Esto se aplica a todos$\eta\in\mathrm{Aut}\,F$.