Requisito de generalización universal

Question

Gregory (Formal Logic, p. 244) afirma que uno de los requisitos para la generalización universal es que la variable $a$ no ocurre en la fórmula generalizada $\forall x P(x)$. Gregory también dice que si$a$ no ocurre en $\forall x P(x)$, entonces todas las apariciones de $a$ en la fórmula a generalizar debe ser reemplazado por la variable ligada $x$ en $\forall x P(x)$. Ejemplo:$P(a, a)$ no se puede generalizar a $\forall x P(x, a)$, ya que $a$ aparece en $\forall x P(x,a)$ (no todas las apariciones de $a$ fueron sustituidos por $x$).

Sin embargo, se me ocurrió un posible contraejemplo: $P(a, a)$ no se puede generalizar a $\forall x \forall y P(x, y)$. Obviamente,$a$ no ocurre en $\forall x \forall y P(x, y)$. El ejemplo me hace pensar que el hecho de que$a$ no ocurre en la fórmula generalizada no puede ser un requisito para la generalización universal.

Gentzen (Investigaciones sobre la deducción lógica, p. 78) no se refiere a la ocurrencia de $a$ en $\forall x P(x)$como una restricción para la generalización universal. En cambio, el autor cita la arbitrariedad de$a$ y que "cada ocurrencia de $a$ en $P(a)$ debe ser reemplazado por un $x$ en $\forall x P(x)$". Para que esta restricción sea aplicable a nuestro hipotético contraejemplo, supongo que deberíamos interpretar que $a$debe ser reemplazado por una variable limitada única$x$ en $\forall x P(x)$. ¿Es eso así?

Answer 1

Estás en lo correcto. La razón por la que esto no se dice en voz alta es porque su contraejemplo potencial son en realidad dos generalizaciones que ha hecho en un solo paso. Formalmente, esto no está permitido.

Di que tienes la fórmula $P(a,a)$ y quieres convertirlo en $\forall x . \forall y . P(x,y)$. Entonces tenemos que generalizar primero a$y$, luego a $x$.

Entonces, para construir su contraejemplo, realmente estamos haciendo esto: $P(a,a) \rightsquigarrow \forall y. P(a,y) \rightsquigarrow \forall x . \forall y . P(x,y)$

Por supuesto, la secuencia anterior de generalizaciones NO está permitida, porque no generalizamos todas las ocurrencias de $a$ cuando agregamos el $\forall y$.

Descubrirá que si descompone las generalizaciones en un cuantificador a la vez, lo único que puede salir mal es olvidar accidentalmente cambiar el nombre de cada aparición de la variable que se cuantifica. Por supuesto, esto es exactamente lo que dice la regla de generalización universal.

---

Espero que esto ayude ^ _ ^