Rompecabezas deslizante 3 x 2

Question

¿Sería posible resolver un rompecabezas deslizante como este (x es el espacio) ?:

1  3  2

4  5  x

No he podido solucionar esto y ni siquiera sé si es posible.

Answer 1

Solución:

no, no es posible obtener de la posición que le asignó al rompecabezas "resuelto" con $1,2,3,4,5$en el orden correcto y el espacio en la parte inferior derecha. Esto se puede probar de la misma manera que el original (famoso) " rompecabezas 14,15 ".

Se puede demostrar usando alguna teoría de grupos básica, similar a la prueba que se encuentra aquí .

Cada posición del rompecabezas puede interpretarse como una permutación de $\{1,2,3,4,5,6\}$, con el cuadrado en blanco interpretado como $6$. Cada movimiento del rompecabezas puede interpretarse como una transposición en el grupo simétrico$S_6$, intercambiando el cuadrado en blanco $6$con uno de los mosaicos reales. La posición que dio está a una transposición de la posición resuelta, pero solo se podría alcanzar en un número par de$6$-swaps, desde ese cuadrado en blanco $6$debe terminar en la misma posición, por lo que debe haber tenido un número par de movimientos arriba-abajo y un número par de movimientos izquierda-derecha. Pero cualquier combinación de un número par de transposiciones debe estar en el grupo alterno$A_6$y, por lo tanto, no podemos lograr una sola transposición con tal combinación.

Answer 2

Si su objetivo es obtener "1 2 3" en la primera fila y "4 5 x" en la segunda, la respuesta es no , no es posible.

Esta es una versión más pequeña del rompecabezas 14-15 de Sam Loyd . Si tiene un rompecabezas deslizante con un solo espacio vacío, puede verificar si se puede resolver en función de la paridad : la cantidad de interruptores que necesitaría para llegar a la solución. Específicamente:

• Primero, haz movimientos para que el mosaico vacío esté en el lugar correcto.
• Ahora imagina que podrías elegir mágicamente dos fichas para intercambiar posiciones. ¿Cuántos intercambios se necesitan para resolver el rompecabezas?

Si el número de intercambios es par, el rompecabezas original se puede resolver. Si el número de intercambios es impar, el acertijo original no se puede resolver. (En otras palabras, a partir de un acertijo resuelto, no importa qué movimientos hagas, siempre estarás en el caso par ; no hay forma de saltar entre los dos casos simplemente deslizando las fichas. Tendría que hacer trampa tomando el azulejos.)

En su ejemplo, se necesita exactamente un intercambio para resolver el rompecabezas. Por lo que no es posible resolverlo deslizando.