Segunda derivada implícita general

Question

Suponga que tiene una función $y = y(x(t))$. Tomando la primera derivada wrt t obtendríamos:

$$ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt} $$

Estoy un poco atascado tratando de determinar la segunda derivada, pero esto es lo que tengo ahora:

$$ \frac{d^{2}y}{dt^{2}} = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dx}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$$

Aunque sé que esto no es correcto, pero no estoy exactamente seguro de lo que me falta.

Answer 1

Primero use la regla del producto para obtener

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\right)&=\frac{dx}{dt}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)+\frac{dy}{dx}\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right)\\\\ &=\frac{dx}{dt}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)+\frac{dy}{dx}\frac{d^2x}{dt^2}\tag1 \end{align}$$

A continuación, aplique la regla de la cadena al segundo término en el lado derecho de $(1)$ encontrar

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{dx}{dt}\tag2$$

Sustitución de $(2)$ en $(1)$ produce el codiciado resultado

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\right)&=\frac{d^2y}{dx^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{dy}{dx}\frac{d^2x}{dt^2} \end{align}$$

¡Y hemos terminado!