Si $ \bigtriangleup ABC$: $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, con altura $AD$ y mediana $AK$. Probar $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC.$
Si $\triangle ABC$ es un triangulo y $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, con altura $AD$ y mediana $AK$; suponer que$D$ está entre $B$ y $K$.
- Pruebalo $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC$.
- Entonces, demuestre que $\angle BCA= \frac\pi 8$ Si $|AD|=|DK|$.
- Concluye esto $$\sin\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2};\quad \cos\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2};\quad \operatorname{tg}\frac \pi 8= \sqrt 2 - 1$$
Ya logré el empate, pero realmente no sé cómo empezar.
Yo sé eso $\bigtriangleup DBA \sim \bigtriangleup DAC$
Respuestas
Considere la circunferencia de $\triangle ABC$. Ya que$\angle A=\frac{\pi}{2}$, subtiende el diámetro, así $K$ es el circuncentro y $$KA=KB=KC\tag{1}$$
- Ya que $\triangle KCA$ es isósceles, $\angle KCA=\angle KAC$.
En$\triangle ABD$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, así $\angle BAD=\frac{\pi}{2}-\angle ABD$, pero $\frac{\pi}{2}-\angle ABC=\angle ACB$, así $\angle BAD=\angle ACB=\angle KAC$, QED. - En $\triangle ADK$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, así $|AD|=|DK|$ $\Rightarrow$ $\angle A=\angle K=\frac{\pi-\angle D}{2}=\frac{\pi}{4}$.
Ya que$\frac{\pi}{4}=\angle AKD=\angle KAC+\angle KCA$ y $\angle KAC=\angle KCA$, así $\angle ACK=\frac{\pi}{8}$, QED. - En $\triangle ADC$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$ y $AK=KC=AD\sqrt{2}$ así $$\tan \frac{\pi}{8}=\frac{AD}{DK+KC}=\frac{AD}{AD+AD\sqrt{2}}= \frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1,$$ las otras funciones de $\frac{\pi}{8}$ se hacen usando $$\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\operatorname{tg}^2\theta,\quad \frac{1}{\sin^2\theta}=1+\operatorname{ctg}^2\theta.$$
Dejar $D$ ser colocado entre $K$ y $B$.
Así, desde $AK$ es una mediana, obtenemos $$AK=CK=KB,$$ lo que da $$\measuredangle BAD=90^{\circ}-\measuredangle ABC=\measuredangle BCA=\measuredangle KAC.$$
Desde que te has dado cuenta de que $\triangle DBA \sim \triangle DAC$, usa la propiedad de que los ángulos correspondientes de triángulos similares son iguales. Además, observe que$AK=KC$, por lo tanto $\triangle KAC$ es isósceles.
Si $AD=DK$, tenemos $\angle DKA=\angle KAD=45°\implies\angle AKC=135°$. Así,$\triangle KAC$ siendo isósceles, tenemos $\angle BCA=22.5°=\frac{π}{8}$.
Tenemos $AK=KC=\frac{a}{2}\implies AD=DK=\frac{a}{2\sqrt 2}$. En$\triangle ADC$, $$\tan\angle DCA=\tan\frac{π}{8}=\sqrt 2-1$$