Si $f$ es una función real, continua en $a$ y $f(a) < M$, entonces hay un intervalo abierto $I$ conteniendo tal que $f(x) < M$ para todos $x \in I$.

Question

Tengo un problema con respecto a Si f es una función real, continua en ayf (a) respuesta. Si yo usara$\epsilon =M-f(a)$ cual es también $\epsilon >0$ y $ \exists$ $ \delta>0$ entonces hay un intervalo abierto $I$ conteniendo tal que $f(x)<M$ para todos $x \in I$. Creo que esto también es correcto, pero no estoy seguro.

¿Alguien puede verificar mi respuesta?

$\underline{Edit}$

Ahora deja $\epsilon = {M-f(a)}$, claramente $\epsilon >0$, y por lo tanto existe un intervalo abierto $I=(a-\delta, a+\delta)$, tal que para cualquier $x\in I$, $|f(x)-f(a)|<\epsilon= {M-f(a)}$ sostiene.

Resulta que $f(x)<M$ para todos $x \in I$

Answer 1

La condición que $f$ es continuo en $a$indica que \ begin {ecuación} \ lim_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = f \ left (a \ right). \ end {ecuación} En otras palabras, tenemos la siguiente proposición: \ begin {ecuación} \ forall \ epsilon> 0, \ existe \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ left (a \ right) \ rvert <\ epsilon. \ end {ecuación} Y tenemos la proposición de que \ begin {ecuación} f \ left (a \ right) <M. \ end {ecuación} Usando el hecho de que$M - f\left(a\right) > 0$, tenemos \ begin {ecuación} \ existe \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ left (a \ right) \ rvert <M - f \ left (a \ right), \ end {ecuación} lo que indica además que \ begin {ecuación} \ existe \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow f \ left (x \ right) <M. \ label {principal} \ end {ecuación} Si no existe tal intervalo abierto$I$ ese $f\left(x\right) < M$ para todos $x \in I$, entonces tenemos la siguiente proposición: \ begin {ecuación} \ forall \ delta> 0, \ exist x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ wedge f \ left (x \ right) \ geq M, \ label {sub} \ end {ecuación} que obviamente contradice nuestra conclusión.