Sin álgebra por favor, somos geómetras

Dado un triángulo rectángulo con lados $ABC$ hacer dos triángulos rectángulos más usando lados $A$ y $C$ (lado largo) y un nuevo lado largo $x$(lo mismo para ambos triángulos nuevos). Por Pitágoras, los terceros lados implícitos tendrán longitudes$a$ y $c$ tal que $a^2+A^2 = x^2 = c^2+C^2$.
Ahora usando algo de álgebra puedo demostrar que si podemos formar un triángulo con lados $aBc$ también debe ser correcto, a saber: $B^2+c^2 = B^2 + x^2 - C^2 = x^2 - A^2 = a^2$
Pero eso se siente simplemente mal como un instrumento volando en un día brillante.
Puedes
- o reorganice la figura de tal manera que la haga ($aBc$ tiene razón) obvio
- o hacer un argumento geométrico directo
- ¿O una combinación de ambos?
Nota sobre la figura. Por desafortunada coincidencia (juego de palabras), el círculo púrpura parece pasar$\angle AB$. Ese no es necesariamente el caso. El círculo es el de radio$c$ alrededor $\angle BC$
Respuestas
Considere la tercera dimensión.
Supongamos que elegimos un punto en el plano a través de$B$perpendicular al plano del triángulo. Esto crea tres nuevos triángulos. El triangulo sobre$A$siempre tiene la razón. (Esto es$Axa$.) El triángulo sobre $C$ está justo en $BC$ si y solo si el punto está directamente encima del vértice $BC$ (es decir, la línea que pasa por el nuevo punto y vértice $BC$es perpendicular al plano del triángulo original). (Esto es$Cxc$.) En este caso, el triángulo sobre $B$ está claramente en lo cierto también (también en $BC$). (Esto es$aBc$.)