Sistema multiplicativo de un anillo y de una categoría
Si A es cualquier categoría, una clase de morfismos$S$en A se dice que es un sistema multiplicativo si$(a)$ está cerrado por composición, es decir: $id_X$ es en $S$ para cada $X$en A y cuando sea$f$ y $g$son morfismos en A tales que la composición$gf$ tiene sentido, entonces $gf$ es en $S$; $(b)$ cualquier diagrama de la forma $X\overset{f}\longrightarrow Y \overset{s}\longleftarrow Z$ con $s$ en $S$ se puede completar como $\require{AMScd}$ \ begin {CD} W @> g >> Z \\ @VtVV @VVsV \\ X @ >> f> Y \ end {CD} con$t$ en $S$. Lo mismo también con todas las flechas invertidas. Finalmente$(c)$ por un par de morfismos $f,g:X\to Y$ existe $s$ en $S$ con $sf=sg$ si y solo si existe $t$ en $S$ con $ft=gt$.
Mi pregunta es: ¿esta definición coincide con la noción de conjunto cerrado multiplicativamente para cualquier anillo?$R$ si miramos $R$como una categoría Ab con un solo objeto? Ciertamente condición$(a)$ proporciona exactamente lo que deseamos para un conjunto multiplicativamente cerrado (que es un subconjunto $S\subseteq R$ tal que $1\in S$ y $x,y\in S\Rightarrow xy,yx\in S$), y si $R$ es conmutativo, $(b)$ y $(c)$ se vuelve obvio, pero en el caso de un anillo no conmutativo no puedo encontrar una prueba de estas condiciones.
¿Alguien podría proporcionar una prueba o un contraejemplo? Si un contraejemplo es la respuesta, ¿hay alguna razón profunda por la que funcione solo en el caso conmutativo, o es la noción de sistema multiplicativo que debe diseñarse solo para generalizar estos casos?
Respuestas
Sí, coincide, pero más bien trivialmente (en el caso conmutativo).
Ver su anillo (unital conmutativo) $R$como una categoría de la siguiente manera. los$R$-módulo de acción de $R$ sobre sí mismo induce un morfismo $\iota: R \to \mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(R,R)$, por lo que podemos considerar la categoría con un objeto (a saber $R$) y el conjunto de morfismos es $\iota(R)$. El hecho de que esto forme una$\mathbf{Ab}$-La categoría forma parte de los axiomas de un anillo. Necesitas que el anillo sea unital para que el morfismo de identidad esté presente, y la conmutatividad te da los otros axiomas. Por ejemplo, si le dan$\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R @ <s << R \ end {CD} básicamente se le dan dos elementos del anillo original$R$. El diagrama se puede completar fácilmente asumiendo que$R$ es conmutativo ya que $sf = fs$ conduce al diagrama conmutativo $\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R \\ @VsVV @VVsV \\ R @ >> f> R \ end {CD} La declaración (c) se prueba de manera similar tomando$t=s$. No sé cómo localizar anillos no conmutativos en subconjuntos$S$ en general, pero apostaría a que si estas ideas tuvieran sentido, entonces la localización $S^{-1}R$ existiría cuando $R$es no conmutativa en el caso específico donde se satisfacen esos axiomas categóricos, pero no en general. Leí esto para saber un poco sobre la localización no conmutativa, y no se siente tan inspirador como la contraparte conmutativa.
Espero que ayude,